Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90360 / 57302
↖ ↑ ↗
← N 22.050005°
E 68.181153°		 ← 283.03 m → N 22.050005°
E 68.183899°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.047459°
E 68.181153°		 ← 283.03 m →
80 115 m²		 N 22.047459°
E 68.183899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689395904541016 y=0.437183380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689395904541016 × 217)
    floor (0.689395904541016 × 131072)
    floor (90360.5)     		tx = 90360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437183380126953 × 217)
    floor (0.437183380126953 × 131072)
    floor (57302.5)     		ty = 57302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90360 / 57302 ti = "17/90360/57302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90360/57302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90360 ÷ 217
    90360 ÷ 131072     		x = 0.68939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57302 ÷ 217
    57302 ÷ 131072     		y = 0.437179565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68939208984375 × 2 - 1) × π
    0.3787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18998560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437179565429688 × 2 - 1) × π
    0.125640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.394712431471542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18998560} λ = 1.18998560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394712431471542))-π/2
    2×atan(1.48395739011365)-π/2
    2×0.977820755024836-π/2
    1.95564151004967-1.57079632675     		φ = 0.38484518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18998560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.181153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38484518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.050005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90360 KachelY 57302 1.18998560 0.38484518 68.181153 22.050005
    Oben rechts KachelX + 1 90361 KachelY 57302 1.19003353 0.38484518 68.183899 22.050005
    Unten links KachelX 90360 KachelY + 1 57303 1.18998560 0.38480075 68.181153 22.047459
    Unten rechts KachelX + 1 90361 KachelY + 1 57303 1.19003353 0.38480075 68.183899 22.047459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38484518-0.38480075) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38484518-0.38480075) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18998560-1.19003353) × cos(0.38484518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92685656563118 × 6371000     		do = 283.026802400139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18998560-1.19003353) × cos(0.38480075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926873244433477 × 6371000     		du = 283.031895473066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38484518)-sin(0.38480075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92685656563118-0.926873244433477)×R²
    abs(1.19003353-1.18998560)×1.66788022968323e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66788022968323e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66788022968323e-05×40589641000000     		ar = 80115.2866167246m²