Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90358 / 57781
↖ ↑ ↗
← N 20.825443°
E 68.175659°		 ← 285.47 m → N 20.825443°
E 68.178406°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.822876°
E 68.175659°		 ← 285.48 m →
81 480 m²		 N 20.822876°
E 68.178406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689380645751953 y=0.440837860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689380645751953 × 217)
    floor (0.689380645751953 × 131072)
    floor (90358.5)     		tx = 90358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440837860107422 × 217)
    floor (0.440837860107422 × 131072)
    floor (57781.5)     		ty = 57781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90358 / 57781 ti = "17/90358/57781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90358/57781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90358 ÷ 217
    90358 ÷ 131072     		x = 0.689376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57781 ÷ 217
    57781 ÷ 131072     		y = 0.440834045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689376831054688 × 2 - 1) × π
    0.378753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18988972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440834045410156 × 2 - 1) × π
    0.118331909179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.371750656553535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18988972} λ = 1.18988972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371750656553535))-π/2
    2×atan(1.45027132055679)-π/2
    2×0.967134434543457-π/2
    1.93426886908691-1.57079632675     		φ = 0.36347254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18988972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36347254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.825443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90358 KachelY 57781 1.18988972 0.36347254 68.175659 20.825443
    Oben rechts KachelX + 1 90359 KachelY 57781 1.18993766 0.36347254 68.178406 20.825443
    Unten links KachelX 90358 KachelY + 1 57782 1.18988972 0.36342774 68.175659 20.822876
    Unten rechts KachelX + 1 90359 KachelY + 1 57782 1.18993766 0.36342774 68.178406 20.822876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36347254-0.36342774) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36347254-0.36342774) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18988972-1.18993766) × cos(0.36347254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934667897004235 × 6371000     		do = 285.471634096575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18988972-1.18993766) × cos(0.36342774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934683823453751 × 6371000     		du = 285.476498444204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36347254)-sin(0.36342774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934667897004235-0.934683823453751)×R²
    abs(1.18993766-1.18988972)×1.59264495158684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59264495158684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59264495158684e-05×40589641000000     		ar = 81480.2363878186m²