Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90358 / 57659
↖ ↑ ↗
← N 21.138307°
E 68.175659°		 ← 284.87 m → N 21.138307°
E 68.178406°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.135745°
E 68.175659°		 ← 284.88 m →
81 165 m²		 N 21.135745°
E 68.178406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689380645751953 y=0.439907073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689380645751953 × 217)
    floor (0.689380645751953 × 131072)
    floor (90358.5)     		tx = 90358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439907073974609 × 217)
    floor (0.439907073974609 × 131072)
    floor (57659.5)     		ty = 57659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90358 / 57659 ti = "17/90358/57659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90358/57659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90358 ÷ 217
    90358 ÷ 131072     		x = 0.689376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57659 ÷ 217
    57659 ÷ 131072     		y = 0.439903259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689376831054688 × 2 - 1) × π
    0.378753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18988972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439903259277344 × 2 - 1) × π
    0.120193481445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.377598958307182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18988972} λ = 1.18988972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377598958307182))-π/2
    2×atan(1.45877779483297)-π/2
    2×0.969864691543223-π/2
    1.93972938308645-1.57079632675     		φ = 0.36893306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18988972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36893306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.138307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90358 KachelY 57659 1.18988972 0.36893306 68.175659 21.138307
    Oben rechts KachelX + 1 90359 KachelY 57659 1.18993766 0.36893306 68.178406 21.138307
    Unten links KachelX 90358 KachelY + 1 57660 1.18988972 0.36888834 68.175659 21.135745
    Unten rechts KachelX + 1 90359 KachelY + 1 57660 1.18993766 0.36888834 68.178406 21.135745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36893306-0.36888834) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36893306-0.36888834) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18988972-1.18993766) × cos(0.36893306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932712636839337 × 6371000     		do = 284.874447313819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18988972-1.18993766) × cos(0.36888834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932728762854943 × 6371000     		du = 284.879372614069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36893306)-sin(0.36888834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932712636839337-0.932728762854943)×R²
    abs(1.18993766-1.18988972)×1.61260156064102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61260156064102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61260156064102e-05×40589641000000     		ar = 81164.5994934476m²