Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90354 / 57746
↖ ↑ ↗
← N 20.915266°
E 68.164673°		 ← 285.30 m → N 20.915266°
E 68.167419°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.912700°
E 68.164673°		 ← 285.31 m →
81 395 m²		 N 20.912700°
E 68.167419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689350128173828 y=0.440570831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689350128173828 × 217)
    floor (0.689350128173828 × 131072)
    floor (90354.5)     		tx = 90354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440570831298828 × 217)
    floor (0.440570831298828 × 131072)
    floor (57746.5)     		ty = 57746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90354 / 57746 ti = "17/90354/57746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90354/57746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90354 ÷ 217
    90354 ÷ 131072     		x = 0.689346313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57746 ÷ 217
    57746 ÷ 131072     		y = 0.440567016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689346313476562 × 2 - 1) × π
    0.378692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18969797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440567016601562 × 2 - 1) × π
    0.118865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.373428448040237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18969797} λ = 1.18969797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373428448040237))-π/2
    2×atan(1.45270661581938)-π/2
    2×0.967918289337049-π/2
    1.9358365786741-1.57079632675     		φ = 0.36504025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18969797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36504025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.915266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90354 KachelY 57746 1.18969797 0.36504025 68.164673 20.915266
    Oben rechts KachelX + 1 90355 KachelY 57746 1.18974591 0.36504025 68.167419 20.915266
    Unten links KachelX 90354 KachelY + 1 57747 1.18969797 0.36499547 68.164673 20.912700
    Unten rechts KachelX + 1 90355 KachelY + 1 57747 1.18974591 0.36499547 68.167419 20.912700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36504025-0.36499547) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dl = 285.29338000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36504025-0.36499547) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dr = 285.29338000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18969797-1.18974591) × cos(0.36504025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934109393198905 × 6371000     		do = 285.301052658539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18969797-1.18974591) × cos(0.36499547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934125378135393 × 6371000     		du = 285.305934869595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36504025)-sin(0.36499547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934109393198905-0.934125378135393)×R²
    abs(1.18974591-1.18969797)×1.59849364876896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59849364876896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59849364876896e-05×40589641000000     		ar = 81395.1980754619m²