Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90353 / 57745
↖ ↑ ↗
← N 20.917831°
E 68.161926°		 ← 285.24 m → N 20.917831°
E 68.164673°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.915266°
E 68.161926°		 ← 285.24 m →
81 377 m²		 N 20.915266°
E 68.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689342498779297 y=0.440563201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689342498779297 × 217)
    floor (0.689342498779297 × 131072)
    floor (90353.5)     		tx = 90353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440563201904297 × 217)
    floor (0.440563201904297 × 131072)
    floor (57745.5)     		ty = 57745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90353 / 57745 ti = "17/90353/57745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90353/57745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90353 ÷ 217
    90353 ÷ 131072     		x = 0.689338684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57745 ÷ 217
    57745 ÷ 131072     		y = 0.440559387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689338684082031 × 2 - 1) × π
    0.378677368164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.18965004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440559387207031 × 2 - 1) × π
    0.118881225585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.373476384939857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18965004} λ = 1.18965004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373476384939857))-π/2
    2×atan(1.45277625573975)-π/2
    2×0.967940678299563-π/2
    1.93588135659913-1.57079632675     		φ = 0.36508503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18965004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.161926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36508503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.917831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90353 KachelY 57745 1.18965004 0.36508503 68.161926 20.917831
    Oben rechts KachelX + 1 90354 KachelY 57745 1.18969797 0.36508503 68.164673 20.917831
    Unten links KachelX 90353 KachelY + 1 57746 1.18965004 0.36504025 68.161926 20.915266
    Unten rechts KachelX + 1 90354 KachelY + 1 57746 1.18969797 0.36504025 68.164673 20.915266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36508503-0.36504025) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36508503-0.36504025) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18965004-1.18969797) × cos(0.36508503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934093406389296 × 6371000     		do = 285.236658784825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18965004-1.18969797) × cos(0.36504025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934109393198905 × 6371000     		du = 285.24154054946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36508503)-sin(0.36504025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934093406389296-0.934109393198905)×R²
    abs(1.18969797-1.18965004)×1.59868096091254e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59868096091254e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59868096091254e-05×40589641000000     		ar = 81376.8268657061m²