Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90352 / 57743
↖ ↑ ↗
← N 20.922962°
E 68.159180°		 ← 285.29 m → N 20.922962°
E 68.161926°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.920397°
E 68.159180°		 ← 285.29 m →
81 373 m²		 N 20.920397°
E 68.161926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689334869384766 y=0.440547943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689334869384766 × 217)
    floor (0.689334869384766 × 131072)
    floor (90352.5)     		tx = 90352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440547943115234 × 217)
    floor (0.440547943115234 × 131072)
    floor (57743.5)     		ty = 57743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90352 / 57743 ti = "17/90352/57743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90352/57743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90352 ÷ 217
    90352 ÷ 131072     		x = 0.6893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57743 ÷ 217
    57743 ÷ 131072     		y = 0.440544128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6893310546875 × 2 - 1) × π
    0.378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18960210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440544128417969 × 2 - 1) × π
    0.118911743164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.373572258739098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18960210} λ = 1.18960210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373572258739098))-π/2
    2×atan(1.45291554559585)-π/2
    2×0.967985455075013-π/2
    1.93597091015003-1.57079632675     		φ = 0.36517458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18960210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36517458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.922962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90352 KachelY 57743 1.18960210 0.36517458 68.159180 20.922962
    Oben rechts KachelX + 1 90353 KachelY 57743 1.18965004 0.36517458 68.161926 20.922962
    Unten links KachelX 90352 KachelY + 1 57744 1.18960210 0.36512981 68.159180 20.920397
    Unten rechts KachelX + 1 90353 KachelY + 1 57744 1.18965004 0.36512981 68.161926 20.920397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36517458-0.36512981) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36517458-0.36512981) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18960210-1.18965004) × cos(0.36517458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934061430721965 × 6371000     		do = 285.286403683528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18960210-1.18965004) × cos(0.36512981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934077417706597 × 6371000     		du = 285.29128652014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36517458)-sin(0.36512981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934061430721965-0.934077417706597)×R²
    abs(1.18965004-1.18960210)×1.59869846318994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59869846318994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59869846318994e-05×40589641000000     		ar = 81372.8431566477m²