Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90344 / 57767
↖ ↑ ↗
← N 20.861378°
E 68.137207°		 ← 285.34 m → N 20.861378°
E 68.139953°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.858812°
E 68.137207°		 ← 285.35 m →
81 444 m²		 N 20.858812°
E 68.139953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689273834228516 y=0.440731048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689273834228516 × 217)
    floor (0.689273834228516 × 131072)
    floor (90344.5)     		tx = 90344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440731048583984 × 217)
    floor (0.440731048583984 × 131072)
    floor (57767.5)     		ty = 57767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90344 / 57767 ti = "17/90344/57767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90344/57767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90344 ÷ 217
    90344 ÷ 131072     		x = 0.68927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57767 ÷ 217
    57767 ÷ 131072     		y = 0.440727233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68927001953125 × 2 - 1) × π
    0.3785400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18921861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440727233886719 × 2 - 1) × π
    0.118545532226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.372421773148216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18921861} λ = 1.18921861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372421773148216))-π/2
    2×atan(1.45124494837916)-π/2
    2×0.967448032677483-π/2
    1.93489606535497-1.57079632675     		φ = 0.36409974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18921861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36409974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.861378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90344 KachelY 57767 1.18921861 0.36409974 68.137207 20.861378
    Oben rechts KachelX + 1 90345 KachelY 57767 1.18926654 0.36409974 68.139953 20.861378
    Unten links KachelX 90344 KachelY + 1 57768 1.18921861 0.36405494 68.137207 20.858812
    Unten rechts KachelX + 1 90345 KachelY + 1 57768 1.18926654 0.36405494 68.139953 20.858812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36409974-0.36405494) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36409974-0.36405494) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18921861-1.18926654) × cos(0.36409974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934444729754398 × 6371000     		do = 285.343939600779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18921861-1.18926654) × cos(0.36405494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934460682463825 × 6371000     		du = 285.348810952514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36409974)-sin(0.36405494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934444729754398-0.934460682463825)×R²
    abs(1.18926654-1.18921861)×1.5952709427336e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5952709427336e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5952709427336e-05×40589641000000     		ar = 81443.790722181m²