Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90341 / 57587
↖ ↑ ↗
← N 21.322640°
E 68.128968°		 ← 284.46 m → N 21.322640°
E 68.131714°		 →
↑
284.53 m
↓
↑
284.53 m
↓
N 21.320081°
E 68.128968°		 ← 284.46 m →
80 938 m²		 N 21.320081°
E 68.131714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689250946044922 y=0.439357757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689250946044922 × 217)
    floor (0.689250946044922 × 131072)
    floor (90341.5)     		tx = 90341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439357757568359 × 217)
    floor (0.439357757568359 × 131072)
    floor (57587.5)     		ty = 57587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90341 / 57587 ti = "17/90341/57587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90341/57587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90341 ÷ 217
    90341 ÷ 131072     		x = 0.689247131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57587 ÷ 217
    57587 ÷ 131072     		y = 0.439353942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689247131347656 × 2 - 1) × π
    0.378494262695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.18907480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439353942871094 × 2 - 1) × π
    0.121292114257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.381050415079826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18907480} λ = 1.18907480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381050415079826))-π/2
    2×atan(1.46382140222232)-π/2
    2×0.971473296146235-π/2
    1.94294659229247-1.57079632675     		φ = 0.37215027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18907480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.128968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37215027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.322640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90341 KachelY 57587 1.18907480 0.37215027 68.128968 21.322640
    Oben rechts KachelX + 1 90342 KachelY 57587 1.18912273 0.37215027 68.131714 21.322640
    Unten links KachelX 90341 KachelY + 1 57588 1.18907480 0.37210561 68.128968 21.320081
    Unten rechts KachelX + 1 90342 KachelY + 1 57588 1.18912273 0.37210561 68.131714 21.320081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37215027-0.37210561) × R
    4.46600000000297e-05 × 6371000     		dl = 284.528860000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37215027-0.37210561) × R
    4.46600000000297e-05 × 6371000     		dr = 284.528860000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18907480-1.18912273) × cos(0.37215027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93154762000835 × 6371000     		do = 284.459272287592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18907480-1.18912273) × cos(0.37210561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93156385831952 × 6371000     		du = 284.464230851255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37215027)-sin(0.37210561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93154762000835-0.93156385831952)×R²
    abs(1.18912273-1.18907480)×1.6238311170147e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6238311170147e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6238311170147e-05×40589641000000     		ar = 80937.5779010702m²