Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90338 / 57610
↖ ↑ ↗
← N 21.263780°
E 68.120727°		 ← 284.63 m → N 21.263780°
E 68.123474°		 →
↑
284.59 m
↓
↑
284.59 m
↓
N 21.261221°
E 68.120727°		 ← 284.64 m →
81 005 m²		 N 21.261221°
E 68.123474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689228057861328 y=0.439533233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689228057861328 × 217)
    floor (0.689228057861328 × 131072)
    floor (90338.5)     		tx = 90338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439533233642578 × 217)
    floor (0.439533233642578 × 131072)
    floor (57610.5)     		ty = 57610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90338 / 57610 ti = "17/90338/57610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90338/57610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90338 ÷ 217
    90338 ÷ 131072     		x = 0.689224243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57610 ÷ 217
    57610 ÷ 131072     		y = 0.439529418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689224243164062 × 2 - 1) × π
    0.378448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18893098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439529418945312 × 2 - 1) × π
    0.120941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.379947866388565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18893098} λ = 1.18893098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379947866388565))-π/2
    2×atan(1.46220835724478)-π/2
    2×0.970959654976447-π/2
    1.94191930995289-1.57079632675     		φ = 0.37112298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18893098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.120727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37112298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.263780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90338 KachelY 57610 1.18893098 0.37112298 68.120727 21.263780
    Oben rechts KachelX + 1 90339 KachelY 57610 1.18897892 0.37112298 68.123474 21.263780
    Unten links KachelX 90338 KachelY + 1 57611 1.18893098 0.37107831 68.120727 21.261221
    Unten rechts KachelX + 1 90339 KachelY + 1 57611 1.18897892 0.37107831 68.123474 21.261221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37112298-0.37107831) × R
    4.46699999999689e-05 × 6371000     		dl = 284.592569999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37112298-0.37107831) × R
    4.46699999999689e-05 × 6371000     		dr = 284.592569999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18893098-1.18897892) × cos(0.37112298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931920670922073 × 6371000     		do = 284.632560537484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18893098-1.18897892) × cos(0.37107831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931936870112255 × 6371000     		du = 284.637508187133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37112298)-sin(0.37107831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931920670922073-0.931936870112255)×R²
    abs(1.18897892-1.18893098)×1.61991901821423e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61991901821423e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61991901821423e-05×40589641000000     		ar = 81005.0159546397m²