Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90335 / 57375
↖ ↑ ↗
← N 21.864048°
E 68.112488°		 ← 283.46 m → N 21.864048°
E 68.115234°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.861499°
E 68.112488°		 ← 283.46 m →
80 345 m²		 N 21.861499°
E 68.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689205169677734 y=0.437740325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689205169677734 × 217)
    floor (0.689205169677734 × 131072)
    floor (90335.5)     		tx = 90335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437740325927734 × 217)
    floor (0.437740325927734 × 131072)
    floor (57375.5)     		ty = 57375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90335 / 57375 ti = "17/90335/57375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90335/57375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90335 ÷ 217
    90335 ÷ 131072     		x = 0.689201354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57375 ÷ 217
    57375 ÷ 131072     		y = 0.437736511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689201354980469 × 2 - 1) × π
    0.378402709960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18878717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437736511230469 × 2 - 1) × π
    0.124526977539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.391213037799278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18878717} λ = 1.18878717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391213037799278))-π/2
    2×atan(1.47877351451355)-π/2
    2×0.976197974160474-π/2
    1.95239594832095-1.57079632675     		φ = 0.38159962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18878717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.112488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38159962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.864048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90335 KachelY 57375 1.18878717 0.38159962 68.112488 21.864048
    Oben rechts KachelX + 1 90336 KachelY 57375 1.18883511 0.38159962 68.115234 21.864048
    Unten links KachelX 90335 KachelY + 1 57376 1.18878717 0.38155513 68.112488 21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 90336 KachelY + 1 57376 1.18883511 0.38155513 68.115234 21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38159962-0.38155513) × R
    4.44899999999526e-05 × 6371000     		dl = 283.445789999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38159962-0.38155513) × R
    4.44899999999526e-05 × 6371000     		dr = 283.445789999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18878717-1.18883511) × cos(0.38159962) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.928070115902343 × 6371000     		do = 283.456501922486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18878717-1.18883511) × cos(0.38155513) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 283.461562033626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38159962)-sin(0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928070115902343-0.928086683304752)×R²
    abs(1.18883511-1.18878717)×1.65674024084073e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65674024084073e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65674024084073e-05×40589641000000     		ar = 80345.2692648454m²