Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90332 / 57588
↖ ↑ ↗
← N 21.320081°
E 68.104248°		 ← 284.52 m → N 21.320081°
E 68.106995°		 →
↑
284.53 m
↓
↑
284.53 m
↓
N 21.317522°
E 68.104248°		 ← 284.53 m →
80 956 m²		 N 21.317522°
E 68.106995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689182281494141 y=0.439365386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689182281494141 × 217)
    floor (0.689182281494141 × 131072)
    floor (90332.5)     		tx = 90332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439365386962891 × 217)
    floor (0.439365386962891 × 131072)
    floor (57588.5)     		ty = 57588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90332 / 57588 ti = "17/90332/57588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90332/57588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90332 ÷ 217
    90332 ÷ 131072     		x = 0.689178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57588 ÷ 217
    57588 ÷ 131072     		y = 0.439361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689178466796875 × 2 - 1) × π
    0.37835693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18864336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439361572265625 × 2 - 1) × π
    0.12127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.381002478180206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18864336} λ = 1.18864336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381002478180206))-π/2
    2×atan(1.46375123284457)-π/2
    2×0.971450968199231-π/2
    1.94290193639846-1.57079632675     		φ = 0.37210561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18864336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37210561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.320081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90332 KachelY 57588 1.18864336 0.37210561 68.104248 21.320081
    Oben rechts KachelX + 1 90333 KachelY 57588 1.18869130 0.37210561 68.106995 21.320081
    Unten links KachelX 90332 KachelY + 1 57589 1.18864336 0.37206095 68.104248 21.317522
    Unten rechts KachelX + 1 90333 KachelY + 1 57589 1.18869130 0.37206095 68.106995 21.317522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37210561-0.37206095) × R
    4.46599999999742e-05 × 6371000     		dl = 284.528859999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37210561-0.37206095) × R
    4.46599999999742e-05 × 6371000     		dr = 284.528859999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18864336-1.18869130) × cos(0.37210561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93156385831952 × 6371000     		do = 284.523580784308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18864336-1.18869130) × cos(0.37206095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931580094772672 × 6371000     		du = 284.528539815027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37210561)-sin(0.37206095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93156385831952-0.931580094772672)×R²
    abs(1.18869130-1.18864336)×1.62364531515191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62364531515191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62364531515191e-05×40589641000000     		ar = 80955.8755907755m²