Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90330 / 57613
↖ ↑ ↗
← N 21.256102°
E 68.098755°		 ← 284.65 m → N 21.256102°
E 68.101502°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 21.253542°
E 68.098755°		 ← 284.65 m →
81 027 m²		 N 21.253542°
E 68.101502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689167022705078 y=0.439556121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689167022705078 × 217)
    floor (0.689167022705078 × 131072)
    floor (90330.5)     		tx = 90330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439556121826172 × 217)
    floor (0.439556121826172 × 131072)
    floor (57613.5)     		ty = 57613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90330 / 57613 ti = "17/90330/57613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90330/57613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90330 ÷ 217
    90330 ÷ 131072     		x = 0.689163208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57613 ÷ 217
    57613 ÷ 131072     		y = 0.439552307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689163208007812 × 2 - 1) × π
    0.378326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18854749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439552307128906 × 2 - 1) × π
    0.120895385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.379804055689705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18854749} λ = 1.18854749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379804055689705))-π/2
    2×atan(1.46199809115866)-π/2
    2×0.97089264314777-π/2
    1.94178528629554-1.57079632675     		φ = 0.37098896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18854749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.098755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37098896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.256102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90330 KachelY 57613 1.18854749 0.37098896 68.098755 21.256102
    Oben rechts KachelX + 1 90331 KachelY 57613 1.18859543 0.37098896 68.101502 21.256102
    Unten links KachelX 90330 KachelY + 1 57614 1.18854749 0.37094428 68.098755 21.253542
    Unten rechts KachelX + 1 90331 KachelY + 1 57614 1.18859543 0.37094428 68.101502 21.253542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37098896-0.37094428) × R
    4.46799999999636e-05 × 6371000     		dl = 284.656279999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37098896-0.37094428) × R
    4.46799999999636e-05 × 6371000     		dr = 284.656279999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18854749-1.18859543) × cos(0.37098896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931969266539175 × 6371000     		do = 284.647402889798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18854749-1.18859543) × cos(0.37094428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931985463775015 × 6371000     		du = 284.65234994254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37098896)-sin(0.37094428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931969266539175-0.931985463775015)×R²
    abs(1.18859543-1.18854749)×1.61972358400098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61972358400098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61972358400098e-05×40589641000000     		ar = 81027.3749365261m²