Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90330 / 57602
↖ ↑ ↗
← N 21.284256°
E 68.098755°		 ← 284.59 m → N 21.284256°
E 68.101502°		 →
↑
284.59 m
↓
↑
284.59 m
↓
N 21.281697°
E 68.098755°		 ← 284.60 m →
80 994 m²		 N 21.281697°
E 68.101502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689167022705078 y=0.439472198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689167022705078 × 217)
    floor (0.689167022705078 × 131072)
    floor (90330.5)     		tx = 90330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439472198486328 × 217)
    floor (0.439472198486328 × 131072)
    floor (57602.5)     		ty = 57602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90330 / 57602 ti = "17/90330/57602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90330/57602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90330 ÷ 217
    90330 ÷ 131072     		x = 0.689163208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57602 ÷ 217
    57602 ÷ 131072     		y = 0.439468383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689163208007812 × 2 - 1) × π
    0.378326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18854749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439468383789062 × 2 - 1) × π
    0.121063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.380331361585525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18854749} λ = 1.18854749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380331361585525))-π/2
    2×atan(1.46276921466293)-π/2
    2×0.971138336097345-π/2
    1.94227667219469-1.57079632675     		φ = 0.37148035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18854749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.098755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37148035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.284256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90330 KachelY 57602 1.18854749 0.37148035 68.098755 21.284256
    Oben rechts KachelX + 1 90331 KachelY 57602 1.18859543 0.37148035 68.101502 21.284256
    Unten links KachelX 90330 KachelY + 1 57603 1.18854749 0.37143568 68.098755 21.281697
    Unten rechts KachelX + 1 90331 KachelY + 1 57603 1.18859543 0.37143568 68.101502 21.281697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37148035-0.37143568) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dl = 284.592570000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37148035-0.37143568) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dr = 284.592570000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18854749-1.18859543) × cos(0.37148035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931791006829119 × 6371000     		do = 284.592957785942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18854749-1.18859543) × cos(0.37143568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931807220895314 × 6371000     		du = 284.597909979108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37148035)-sin(0.37143568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931791006829119-0.931807220895314)×R²
    abs(1.18859543-1.18854749)×1.62140661953414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62140661953414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62140661953414e-05×40589641000000     		ar = 80993.7459524036m²