Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90327 / 57589
↖ ↑ ↗
← N 21.317522°
E 68.090515°		 ← 284.53 m → N 21.317522°
E 68.093262°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
N 21.314964°
E 68.090515°		 ← 284.53 m →
80 939 m²		 N 21.314964°
E 68.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689144134521484 y=0.439373016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689144134521484 × 217)
    floor (0.689144134521484 × 131072)
    floor (90327.5)     		tx = 90327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439373016357422 × 217)
    floor (0.439373016357422 × 131072)
    floor (57589.5)     		ty = 57589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90327 / 57589 ti = "17/90327/57589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90327/57589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90327 ÷ 217
    90327 ÷ 131072     		x = 0.689140319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57589 ÷ 217
    57589 ÷ 131072     		y = 0.439369201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689140319824219 × 2 - 1) × π
    0.378280639648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.18840368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439369201660156 × 2 - 1) × π
    0.121261596679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.380954541280586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18840368} λ = 1.18840368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380954541280586))-π/2
    2×atan(1.46368106683043)-π/2
    2×0.971428639863075-π/2
    1.94285727972615-1.57079632675     		φ = 0.37206095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18840368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.090515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37206095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.317522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90327 KachelY 57589 1.18840368 0.37206095 68.090515 21.317522
    Oben rechts KachelX + 1 90328 KachelY 57589 1.18845162 0.37206095 68.093262 21.317522
    Unten links KachelX 90327 KachelY + 1 57590 1.18840368 0.37201630 68.090515 21.314964
    Unten rechts KachelX + 1 90328 KachelY + 1 57590 1.18845162 0.37201630 68.093262 21.314964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37206095-0.37201630) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dl = 284.465149999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37206095-0.37201630) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dr = 284.465149999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18840368-1.18845162) × cos(0.37206095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931580094772672 × 6371000     		do = 284.528539815027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18840368-1.18845162) × cos(0.37201630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931596325732827 × 6371000     		du = 284.533497168043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37206095)-sin(0.37201630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931580094772672-0.931596325732827)×R²
    abs(1.18845162-1.18840368)×1.6230960155017e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6230960155017e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6230960155017e-05×40589641000000     		ar = 80939.1588682322m²