Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90326 / 57859
↖ ↑ ↗
← N 20.625073°
E 68.087768°		 ← 285.85 m → N 20.625073°
E 68.090515°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.622502°
E 68.087768°		 ← 285.85 m →
81 716 m²		 N 20.622502°
E 68.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689136505126953 y=0.441432952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689136505126953 × 217)
    floor (0.689136505126953 × 131072)
    floor (90326.5)     		tx = 90326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441432952880859 × 217)
    floor (0.441432952880859 × 131072)
    floor (57859.5)     		ty = 57859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90326 / 57859 ti = "17/90326/57859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90326/57859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90326 ÷ 217
    90326 ÷ 131072     		x = 0.689132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57859 ÷ 217
    57859 ÷ 131072     		y = 0.441429138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689132690429688 × 2 - 1) × π
    0.378265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18835574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441429138183594 × 2 - 1) × π
    0.117141723632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.368011578383171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18835574} λ = 1.18835574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368011578383171))-π/2
    2×atan(1.44485876800548)-π/2
    2×0.965385877998183-π/2
    1.93077175599637-1.57079632675     		φ = 0.35997543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18835574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.087768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35997543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90326 KachelY 57859 1.18835574 0.35997543 68.087768 20.625073
    Oben rechts KachelX + 1 90327 KachelY 57859 1.18840368 0.35997543 68.090515 20.625073
    Unten links KachelX 90326 KachelY + 1 57860 1.18835574 0.35993056 68.087768 20.622502
    Unten rechts KachelX + 1 90327 KachelY + 1 57860 1.18840368 0.35993056 68.090515 20.622502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35997543-0.35993056) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dl = 285.866769999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35997543-0.35993056) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dr = 285.866769999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18835574-1.18840368) × cos(0.35997543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935905478773352 × 6371000     		do = 285.849623424218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18835574-1.18840368) × cos(0.35993056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935921283344267 × 6371000     		du = 285.854450546985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35997543)-sin(0.35993056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935905478773352-0.935921283344267)×R²
    abs(1.18840368-1.18835574)×1.58045709148791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58045709148791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58045709148791e-05×40589641000000     		ar = 81715.5985247585m²