Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90325 / 57934
↖ ↑ ↗
← N 20.432160°
E 68.085022°		 ← 286.21 m → N 20.432160°
E 68.087768°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 20.429587°
E 68.085022°		 ← 286.22 m →
81 910 m²		 N 20.429587°
E 68.087768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689128875732422 y=0.442005157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689128875732422 × 217)
    floor (0.689128875732422 × 131072)
    floor (90325.5)     		tx = 90325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442005157470703 × 217)
    floor (0.442005157470703 × 131072)
    floor (57934.5)     		ty = 57934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90325 / 57934 ti = "17/90325/57934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90325/57934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90325 ÷ 217
    90325 ÷ 131072     		x = 0.689125061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57934 ÷ 217
    57934 ÷ 131072     		y = 0.442001342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689125061035156 × 2 - 1) × π
    0.378250122070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.18830780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442001342773438 × 2 - 1) × π
    0.115997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.364416310911667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18830780} λ = 1.18830780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364416310911667))-π/2
    2×atan(1.43967344117982)-π/2
    2×0.963702400128634-π/2
    1.92740480025727-1.57079632675     		φ = 0.35660847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18830780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.085022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35660847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.432160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90325 KachelY 57934 1.18830780 0.35660847 68.085022 20.432160
    Oben rechts KachelX + 1 90326 KachelY 57934 1.18835574 0.35660847 68.087768 20.432160
    Unten links KachelX 90325 KachelY + 1 57935 1.18830780 0.35656355 68.085022 20.429587
    Unten rechts KachelX + 1 90326 KachelY + 1 57935 1.18835574 0.35656355 68.087768 20.429587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35660847-0.35656355) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35660847-0.35656355) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18830780-1.18835574) × cos(0.35660847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937086187457792 × 6371000     		do = 286.210242247887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18830780-1.18835574) × cos(0.35656355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937101867998614 × 6371000     		du = 286.215031488671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35660847)-sin(0.35656355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937086187457792-0.937101867998614)×R²
    abs(1.18835574-1.18830780)×1.56805408219052e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56805408219052e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56805408219052e-05×40589641000000     		ar = 81909.8550839855m²