Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90325 / 57857
↖ ↑ ↗
← N 20.630214°
E 68.085022°		 ← 285.84 m → N 20.630214°
E 68.087768°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.627643°
E 68.085022°		 ← 285.84 m →
81 713 m²		 N 20.627643°
E 68.087768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689128875732422 y=0.441417694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689128875732422 × 217)
    floor (0.689128875732422 × 131072)
    floor (90325.5)     		tx = 90325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441417694091797 × 217)
    floor (0.441417694091797 × 131072)
    floor (57857.5)     		ty = 57857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90325 / 57857 ti = "17/90325/57857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90325/57857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90325 ÷ 217
    90325 ÷ 131072     		x = 0.689125061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57857 ÷ 217
    57857 ÷ 131072     		y = 0.441413879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689125061035156 × 2 - 1) × π
    0.378250122070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.18830780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441413879394531 × 2 - 1) × π
    0.117172241210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.368107452182411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18830780} λ = 1.18830780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368107452182411))-π/2
    2×atan(1.44499729874556)-π/2
    2×0.965430741647562-π/2
    1.93086148329512-1.57079632675     		φ = 0.36006516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18830780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.085022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36006516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.630214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90325 KachelY 57857 1.18830780 0.36006516 68.085022 20.630214
    Oben rechts KachelX + 1 90326 KachelY 57857 1.18835574 0.36006516 68.087768 20.630214
    Unten links KachelX 90325 KachelY + 1 57858 1.18830780 0.36002029 68.085022 20.627643
    Unten rechts KachelX + 1 90326 KachelY + 1 57858 1.18835574 0.36002029 68.087768 20.627643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36006516-0.36002029) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dl = 285.866769999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36006516-0.36002029) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dr = 285.866769999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18830780-1.18835574) × cos(0.36006516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935873867502084 × 6371000     		do = 285.839968528298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18830780-1.18835574) × cos(0.36002029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935889675841095 × 6371000     		du = 285.844796801939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36006516)-sin(0.36002029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935873867502084-0.935889675841095)×R²
    abs(1.18835574-1.18830780)×1.58083390117136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58083390117136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58083390117136e-05×40589641000000     		ar = 81712.8386752676m²