Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90324 / 57596
↖ ↑ ↗
← N 21.299610°
E 68.082276°		 ← 284.50 m → N 21.299610°
E 68.085022°		 →
↑
284.53 m
↓
↑
284.53 m
↓
N 21.297052°
E 68.082276°		 ← 284.51 m →
80 950 m²		 N 21.297052°
E 68.085022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689121246337891 y=0.439426422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689121246337891 × 217)
    floor (0.689121246337891 × 131072)
    floor (90324.5)     		tx = 90324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439426422119141 × 217)
    floor (0.439426422119141 × 131072)
    floor (57596.5)     		ty = 57596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90324 / 57596 ti = "17/90324/57596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90324/57596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90324 ÷ 217
    90324 ÷ 131072     		x = 0.689117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57596 ÷ 217
    57596 ÷ 131072     		y = 0.439422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689117431640625 × 2 - 1) × π
    0.37823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18825987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439422607421875 × 2 - 1) × π
    0.12115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.380618982983246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18825987} λ = 1.18825987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380618982983246))-π/2
    2×atan(1.46318999889936)-π/2
    2×0.971272330616881-π/2
    1.94254466123376-1.57079632675     		φ = 0.37174833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18825987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.082276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37174833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.299610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90324 KachelY 57596 1.18825987 0.37174833 68.082276 21.299610
    Oben rechts KachelX + 1 90325 KachelY 57596 1.18830780 0.37174833 68.085022 21.299610
    Unten links KachelX 90324 KachelY + 1 57597 1.18825987 0.37170367 68.082276 21.297052
    Unten rechts KachelX + 1 90325 KachelY + 1 57597 1.18830780 0.37170367 68.085022 21.297052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37174833-0.37170367) × R
    4.46600000000297e-05 × 6371000     		dl = 284.528860000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37174833-0.37170367) × R
    4.46600000000297e-05 × 6371000     		dr = 284.528860000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18825987-1.18830780) × cos(0.37174833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93169369791749 × 6371000     		do = 284.503878934466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18825987-1.18830780) × cos(0.37170367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931709919505327 × 6371000     		du = 284.508832391457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37174833)-sin(0.37170367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93169369791749-0.931709919505327)×R²
    abs(1.18830780-1.18825987)×1.62215878368732e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62215878368732e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62215878368732e-05×40589641000000     		ar = 80950.2690530627m²