Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90324 / 57579
↖ ↑ ↗
← N 21.343106°
E 68.082276°		 ← 284.42 m → N 21.343106°
E 68.085022°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.340549°
E 68.082276°		 ← 284.42 m →
80 890 m²		 N 21.340549°
E 68.085022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689121246337891 y=0.439296722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689121246337891 × 217)
    floor (0.689121246337891 × 131072)
    floor (90324.5)     		tx = 90324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439296722412109 × 217)
    floor (0.439296722412109 × 131072)
    floor (57579.5)     		ty = 57579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90324 / 57579 ti = "17/90324/57579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90324/57579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90324 ÷ 217
    90324 ÷ 131072     		x = 0.689117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57579 ÷ 217
    57579 ÷ 131072     		y = 0.439292907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689117431640625 × 2 - 1) × π
    0.37823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18825987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439292907714844 × 2 - 1) × π
    0.121414184570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.381433910276787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18825987} λ = 1.18825987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381433910276787))-π/2
    2×atan(1.4643828783541)-π/2
    2×0.971651905708248-π/2
    1.9433038114165-1.57079632675     		φ = 0.37250748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18825987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.082276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37250748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.343106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90324 KachelY 57579 1.18825987 0.37250748 68.082276 21.343106
    Oben rechts KachelX + 1 90325 KachelY 57579 1.18830780 0.37250748 68.085022 21.343106
    Unten links KachelX 90324 KachelY + 1 57580 1.18825987 0.37246284 68.082276 21.340549
    Unten rechts KachelX + 1 90325 KachelY + 1 57580 1.18830780 0.37246284 68.085022 21.340549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37250748-0.37246284) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dl = 284.401439999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37250748-0.37246284) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dr = 284.401439999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18825987-1.18830780) × cos(0.37250748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931417672110853 × 6371000     		do = 284.419591133818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18825987-1.18830780) × cos(0.37246284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931433918003884 × 6371000     		du = 284.424552012694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37250748)-sin(0.37246284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931417672110853-0.931433918003884)×R²
    abs(1.18830780-1.18825987)×1.62458930312859e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62458930312859e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62458930312859e-05×40589641000000     		ar = 80890.0467365705m²