Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90323 / 57595
↖ ↑ ↗
← N 21.302170°
E 68.079529°		 ← 284.56 m → N 21.302170°
E 68.082276°		 →
↑
284.59 m
↓
↑
284.59 m
↓
N 21.299610°
E 68.079529°		 ← 284.56 m →
80 984 m²		 N 21.299610°
E 68.082276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689113616943359 y=0.439418792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689113616943359 × 217)
    floor (0.689113616943359 × 131072)
    floor (90323.5)     		tx = 90323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439418792724609 × 217)
    floor (0.439418792724609 × 131072)
    floor (57595.5)     		ty = 57595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90323 / 57595 ti = "17/90323/57595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90323/57595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90323 ÷ 217
    90323 ÷ 131072     		x = 0.689109802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57595 ÷ 217
    57595 ÷ 131072     		y = 0.439414978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689109802246094 × 2 - 1) × π
    0.378219604492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.18821193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439414978027344 × 2 - 1) × π
    0.121170043945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.380666919882866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18821193} λ = 1.18821193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380666919882866))-π/2
    2×atan(1.46326014137266)-π/2
    2×0.971294661676048-π/2
    1.9425893233521-1.57079632675     		φ = 0.37179300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18821193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.079529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37179300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.302170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90323 KachelY 57595 1.18821193 0.37179300 68.079529 21.302170
    Oben rechts KachelX + 1 90324 KachelY 57595 1.18825987 0.37179300 68.082276 21.302170
    Unten links KachelX 90323 KachelY + 1 57596 1.18821193 0.37174833 68.079529 21.299610
    Unten rechts KachelX + 1 90324 KachelY + 1 57596 1.18825987 0.37174833 68.082276 21.299610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37179300-0.37174833) × R
    4.46699999999689e-05 × 6371000     		dl = 284.592569999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37179300-0.37174833) × R
    4.46699999999689e-05 × 6371000     		dr = 284.592569999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18821193-1.18825987) × cos(0.37179300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931677470838511 × 6371000     		do = 284.558280971994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18821193-1.18825987) × cos(0.37174833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93169369791749 × 6371000     		du = 284.563237139599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37179300)-sin(0.37174833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931677470838511-0.93169369791749)×R²
    abs(1.18825987-1.18821193)×1.62270789795249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62270789795249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62270789795249e-05×40589641000000     		ar = 80983.877754257m²