Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90322 / 57574
↖ ↑ ↗
← N 21.355897°
E 68.076782°		 ← 284.45 m → N 21.355897°
E 68.079529°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.353339°
E 68.076782°		 ← 284.46 m →
80 900 m²		 N 21.353339°
E 68.079529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689105987548828 y=0.439258575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689105987548828 × 217)
    floor (0.689105987548828 × 131072)
    floor (90322.5)     		tx = 90322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439258575439453 × 217)
    floor (0.439258575439453 × 131072)
    floor (57574.5)     		ty = 57574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90322 / 57574 ti = "17/90322/57574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90322/57574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90322 ÷ 217
    90322 ÷ 131072     		x = 0.689102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57574 ÷ 217
    57574 ÷ 131072     		y = 0.439254760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689102172851562 × 2 - 1) × π
    0.378204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18816399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439254760742188 × 2 - 1) × π
    0.121490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.381673594774887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18816399} λ = 1.18816399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381673594774887))-π/2
    2×atan(1.4647339102961)-π/2
    2×0.971763524027241-π/2
    1.94352704805448-1.57079632675     		φ = 0.37273072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18816399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37273072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.355897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90322 KachelY 57574 1.18816399 0.37273072 68.076782 21.355897
    Oben rechts KachelX + 1 90323 KachelY 57574 1.18821193 0.37273072 68.079529 21.355897
    Unten links KachelX 90322 KachelY + 1 57575 1.18816399 0.37268608 68.076782 21.353339
    Unten rechts KachelX + 1 90323 KachelY + 1 57575 1.18821193 0.37268608 68.079529 21.353339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37273072-0.37268608) × R
    4.46400000000402e-05 × 6371000     		dl = 284.401440000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37273072-0.37268608) × R
    4.46400000000402e-05 × 6371000     		dr = 284.401440000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18816399-1.18821193) × cos(0.37273072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931336400238991 × 6371000     		do = 284.454109231743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18816399-1.18821193) × cos(0.37268608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931352655413679 × 6371000     		du = 284.459073980501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37273072)-sin(0.37268608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931336400238991-0.931352655413679)×R²
    abs(1.18821193-1.18816399)×1.62551746883954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62551746883954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62551746883954e-05×40589641000000     		ar = 80899.8642838399m²