Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90321 / 57593
↖ ↑ ↗
← N 21.307287°
E 68.074036°		 ← 284.49 m → N 21.307287°
E 68.076782°		 →
↑
284.53 m
↓
↑
284.53 m
↓
N 21.304729°
E 68.074036°		 ← 284.49 m →
80 946 m²		 N 21.304729°
E 68.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689098358154297 y=0.439403533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689098358154297 × 217)
    floor (0.689098358154297 × 131072)
    floor (90321.5)     		tx = 90321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439403533935547 × 217)
    floor (0.439403533935547 × 131072)
    floor (57593.5)     		ty = 57593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90321 / 57593 ti = "17/90321/57593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90321/57593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90321 ÷ 217
    90321 ÷ 131072     		x = 0.689094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57593 ÷ 217
    57593 ÷ 131072     		y = 0.439399719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689094543457031 × 2 - 1) × π
    0.378189086914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.18811606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439399719238281 × 2 - 1) × π
    0.121200561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.380762793682106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18811606} λ = 1.18811606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380762793682106))-π/2
    2×atan(1.46340043640689)-π/2
    2×0.971339322627679-π/2
    1.94267864525536-1.57079632675     		φ = 0.37188232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18811606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.074036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37188232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.307287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90321 KachelY 57593 1.18811606 0.37188232 68.074036 21.307287
    Oben rechts KachelX + 1 90322 KachelY 57593 1.18816399 0.37188232 68.076782 21.307287
    Unten links KachelX 90321 KachelY + 1 57594 1.18811606 0.37183766 68.074036 21.304729
    Unten rechts KachelX + 1 90322 KachelY + 1 57594 1.18816399 0.37183766 68.076782 21.304729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37188232-0.37183766) × R
    4.46599999999742e-05 × 6371000     		dl = 284.528859999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37188232-0.37183766) × R
    4.46599999999742e-05 × 6371000     		dr = 284.528859999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18811606-1.18816399) × cos(0.37188232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931645018370746 × 6371000     		do = 284.489014049253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18811606-1.18816399) × cos(0.37183766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931661245533735 × 6371000     		du = 284.493969208684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37188232)-sin(0.37183766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931645018370746-0.931661245533735)×R²
    abs(1.18816399-1.18811606)×1.62271629886579e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62271629886579e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62271629886579e-05×40589641000000     		ar = 80946.0398063225m²