Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90319 / 58002
↖ ↑ ↗
← N 20.257044°
E 68.068542°		 ← 286.53 m → N 20.257044°
E 68.071289°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.254467°
E 68.068542°		 ← 286.54 m →
82 094 m²		 N 20.254467°
E 68.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689083099365234 y=0.442523956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689083099365234 × 217)
    floor (0.689083099365234 × 131072)
    floor (90319.5)     		tx = 90319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442523956298828 × 217)
    floor (0.442523956298828 × 131072)
    floor (58002.5)     		ty = 58002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90319 / 58002 ti = "17/90319/58002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90319/58002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90319 ÷ 217
    90319 ÷ 131072     		x = 0.689079284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58002 ÷ 217
    58002 ÷ 131072     		y = 0.442520141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689079284667969 × 2 - 1) × π
    0.378158569335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18802018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    0.114959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.361156601737503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18802018} λ = 1.18802018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361156601737503))-π/2
    2×atan(1.4349881649235)-π/2
    2×0.962174218948383-π/2
    1.92434843789677-1.57079632675     		φ = 0.35355211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18802018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.068542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35355211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.257044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90319 KachelY 58002 1.18802018 0.35355211 68.068542 20.257044
    Oben rechts KachelX + 1 90320 KachelY 58002 1.18806812 0.35355211 68.071289 20.257044
    Unten links KachelX 90319 KachelY + 1 58003 1.18802018 0.35350714 68.068542 20.254467
    Unten rechts KachelX + 1 90320 KachelY + 1 58003 1.18806812 0.35350714 68.071289 20.254467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35355211-0.35350714) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35355211-0.35350714) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18802018-1.18806812) × cos(0.35355211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		do = 286.534784879866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18802018-1.18806812) × cos(0.35350714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938164347545442 × 6371000     		du = 286.539540090496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35355211)-sin(0.35350714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938148778423371-0.938164347545442)×R²
    abs(1.18806812-1.18802018)×1.5569122071124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5569122071124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5569122071124e-05×40589641000000     		ar = 82094.0059645176m²