Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90317 / 58003
↖ ↑ ↗
← N 20.254467°
E 68.063049°		 ← 286.54 m → N 20.254467°
E 68.065796°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.251891°
E 68.063049°		 ← 286.54 m →
82 095 m²		 N 20.251891°
E 68.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689067840576172 y=0.442531585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689067840576172 × 217)
    floor (0.689067840576172 × 131072)
    floor (90317.5)     		tx = 90317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442531585693359 × 217)
    floor (0.442531585693359 × 131072)
    floor (58003.5)     		ty = 58003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90317 / 58003 ti = "17/90317/58003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90317/58003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90317 ÷ 217
    90317 ÷ 131072     		x = 0.689064025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58003 ÷ 217
    58003 ÷ 131072     		y = 0.442527770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689064025878906 × 2 - 1) × π
    0.378128051757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.18792431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442527770996094 × 2 - 1) × π
    0.114944458007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.361108664837883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18792431} λ = 1.18792431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361108664837883))-π/2
    2×atan(1.43491937768862)-π/2
    2×0.962151732789886-π/2
    1.92430346557977-1.57079632675     		φ = 0.35350714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18792431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.063049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35350714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.254467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90317 KachelY 58003 1.18792431 0.35350714 68.063049 20.254467
    Oben rechts KachelX + 1 90318 KachelY 58003 1.18797225 0.35350714 68.065796 20.254467
    Unten links KachelX 90317 KachelY + 1 58004 1.18792431 0.35346217 68.063049 20.251891
    Unten rechts KachelX + 1 90318 KachelY + 1 58004 1.18797225 0.35346217 68.065796 20.251891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35350714-0.35346217) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35350714-0.35346217) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18792431-1.18797225) × cos(0.35350714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938164347545442 × 6371000     		do = 286.539540090496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18792431-1.18797225) × cos(0.35346217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938179914770263 × 6371000     		du = 286.544294721656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35350714)-sin(0.35346217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938164347545442-0.938179914770263)×R²
    abs(1.18797225-1.18792431)×1.55672248205452e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55672248205452e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55672248205452e-05×40589641000000     		ar = 82095.3682678545m²