Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90315 / 57432
↖ ↑ ↗
← N 21.718680°
E 68.057556°		 ← 283.68 m → N 21.718680°
E 68.060303°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 21.716128°
E 68.057556°		 ← 283.69 m →
80 482 m²		 N 21.716128°
E 68.060303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689052581787109 y=0.438175201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689052581787109 × 217)
    floor (0.689052581787109 × 131072)
    floor (90315.5)     		tx = 90315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438175201416016 × 217)
    floor (0.438175201416016 × 131072)
    floor (57432.5)     		ty = 57432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90315 / 57432 ti = "17/90315/57432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90315/57432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90315 ÷ 217
    90315 ÷ 131072     		x = 0.689048767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57432 ÷ 217
    57432 ÷ 131072     		y = 0.43817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689048767089844 × 2 - 1) × π
    0.378097534179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.18782844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388480634520935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18782844} λ = 1.18782844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388480634520935))-π/2
    2×atan(1.47473842417211)-π/2
    2×0.974929399290252-π/2
    1.9498587985805-1.57079632675     		φ = 0.37906247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18782844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.057556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37906247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.718680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90315 KachelY 57432 1.18782844 0.37906247 68.057556 21.718680
    Oben rechts KachelX + 1 90316 KachelY 57432 1.18787637 0.37906247 68.060303 21.718680
    Unten links KachelX 90315 KachelY + 1 57433 1.18782844 0.37901794 68.057556 21.716128
    Unten rechts KachelX + 1 90316 KachelY + 1 57433 1.18787637 0.37901794 68.060303 21.716128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37906247-0.37901794) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37906247-0.37901794) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18782844-1.18787637) × cos(0.37906247) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.929011976462591 × 6371000     		do = 283.684983025788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18782844-1.18787637) × cos(0.37901794) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.929028453852669 × 6371000     		du = 283.690014595072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37906247)-sin(0.37901794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929011976462591-0.929028453852669)×R²
    abs(1.18787637-1.18782844)×1.64773900784843e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.64773900784843e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.64773900784843e-05×40589641000000     		ar = 80482.3221488823m²