Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90314 / 57607
↖ ↑ ↗
← N 21.271459°
E 68.054810°		 ← 284.62 m → N 21.271459°
E 68.057556°		 →
↑
284.59 m
↓
↑
284.59 m
↓
N 21.268900°
E 68.054810°		 ← 284.62 m →
81 001 m²		 N 21.268900°
E 68.057556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689044952392578 y=0.439510345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689044952392578 × 217)
    floor (0.689044952392578 × 131072)
    floor (90314.5)     		tx = 90314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439510345458984 × 217)
    floor (0.439510345458984 × 131072)
    floor (57607.5)     		ty = 57607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90314 / 57607 ti = "17/90314/57607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90314/57607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90314 ÷ 217
    90314 ÷ 131072     		x = 0.689041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57607 ÷ 217
    57607 ÷ 131072     		y = 0.439506530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689041137695312 × 2 - 1) × π
    0.378082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18778050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439506530761719 × 2 - 1) × π
    0.120986938476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.380091677087425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18778050} λ = 1.18778050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380091677087425))-π/2
    2×atan(1.46241865357158)-π/2
    2×0.971026663310233-π/2
    1.94205332662047-1.57079632675     		φ = 0.37125700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18778050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.054810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37125700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.271459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90314 KachelY 57607 1.18778050 0.37125700 68.054810 21.271459
    Oben rechts KachelX + 1 90315 KachelY 57607 1.18782844 0.37125700 68.057556 21.271459
    Unten links KachelX 90314 KachelY + 1 57608 1.18778050 0.37121233 68.054810 21.268900
    Unten rechts KachelX + 1 90315 KachelY + 1 57608 1.18782844 0.37121233 68.057556 21.268900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37125700-0.37121233) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dl = 284.592570000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37125700-0.37121233) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dr = 284.592570000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18778050-1.18782844) × cos(0.37125700) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.931872058566408 × 6371000     		do = 284.6177130741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18778050-1.18782844) × cos(0.37121233) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.931888263335598 × 6371000     		du = 284.622662427722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37125700)-sin(0.37121233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931872058566408-0.931888263335598)×R²
    abs(1.18782844-1.18778050)×1.62047691898426e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.62047691898426e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.62047691898426e-05×40589641000000     		ar = 81000.7907195123m²