Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90309 / 58069
↖ ↑ ↗
← N 20.084309°
E 68.041076°		 ← 286.85 m → N 20.084309°
E 68.043823°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.081730°
E 68.041076°		 ← 286.86 m →
82 276 m²		 N 20.081730°
E 68.043823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689006805419922 y=0.443035125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689006805419922 × 217)
    floor (0.689006805419922 × 131072)
    floor (90309.5)     		tx = 90309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443035125732422 × 217)
    floor (0.443035125732422 × 131072)
    floor (58069.5)     		ty = 58069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90309 / 58069 ti = "17/90309/58069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90309/58069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90309 ÷ 217
    90309 ÷ 131072     		x = 0.689002990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58069 ÷ 217
    58069 ÷ 131072     		y = 0.443031311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689002990722656 × 2 - 1) × π
    0.378005981445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.18754081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443031311035156 × 2 - 1) × π
    0.113937377929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.357944829462959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18754081} λ = 1.18754081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357944829462959))-π/2
    2×atan(1.43038670310037)-π/2
    2×0.960666823141067-π/2
    1.92133364628213-1.57079632675     		φ = 0.35053732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18754081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.041076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35053732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.084309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90309 KachelY 58069 1.18754081 0.35053732 68.041076 20.084309
    Oben rechts KachelX + 1 90310 KachelY 58069 1.18758875 0.35053732 68.043823 20.084309
    Unten links KachelX 90309 KachelY + 1 58070 1.18754081 0.35049230 68.041076 20.081730
    Unten rechts KachelX + 1 90310 KachelY + 1 58070 1.18758875 0.35049230 68.043823 20.081730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35053732-0.35049230) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35053732-0.35049230) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18754081-1.18758875) × cos(0.35053732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939188331401891 × 6371000     		do = 286.8522911176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18754081-1.18758875) × cos(0.35049230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939203790430738 × 6371000     		du = 286.857012702925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35053732)-sin(0.35049230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939188331401891-0.939203790430738)×R²
    abs(1.18758875-1.18754081)×1.54590288466983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54590288466983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54590288466983e-05×40589641000000     		ar = 82276.3454630828m²