Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90308 / 57612
↖ ↑ ↗
← N 21.258661°
E 68.038330°		 ← 284.58 m → N 21.258661°
E 68.041076°		 →
↑
284.59 m
↓
↑
284.59 m
↓
N 21.256102°
E 68.038330°		 ← 284.59 m →
80 991 m²		 N 21.256102°
E 68.041076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688999176025391 y=0.439548492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688999176025391 × 217)
    floor (0.688999176025391 × 131072)
    floor (90308.5)     		tx = 90308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439548492431641 × 217)
    floor (0.439548492431641 × 131072)
    floor (57612.5)     		ty = 57612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90308 / 57612 ti = "17/90308/57612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90308/57612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90308 ÷ 217
    90308 ÷ 131072     		x = 0.688995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57612 ÷ 217
    57612 ÷ 131072     		y = 0.439544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688995361328125 × 2 - 1) × π
    0.37799072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18749288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439544677734375 × 2 - 1) × π
    0.12091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.379851992589325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18749288} λ = 1.18749288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379851992589325))-π/2
    2×atan(1.46206817649423)-π/2
    2×0.970914980812254-π/2
    1.94182996162451-1.57079632675     		φ = 0.37103363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18749288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.038330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37103363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.258661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90308 KachelY 57612 1.18749288 0.37103363 68.038330 21.258661
    Oben rechts KachelX + 1 90309 KachelY 57612 1.18754081 0.37103363 68.041076 21.258661
    Unten links KachelX 90308 KachelY + 1 57613 1.18749288 0.37098896 68.038330 21.256102
    Unten rechts KachelX + 1 90309 KachelY + 1 57613 1.18754081 0.37098896 68.041076 21.256102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37103363-0.37098896) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dl = 284.592570000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37103363-0.37098896) × R
    4.46700000000244e-05 × 6371000     		dr = 284.592570000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18749288-1.18754081) × cos(0.37103363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931953071068632 × 6371000     		do = 284.583081646426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18749288-1.18754081) × cos(0.37098896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931969266539175 × 6371000     		du = 284.588027128188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37103363)-sin(0.37098896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931953071068632-0.931969266539175)×R²
    abs(1.18754081-1.18749288)×1.61954705433232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61954705433232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61954705433232e-05×40589641000000     		ar = 80990.9343214512m²