Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90295 / 57877
↖ ↑ ↗
← N 20.578796°
E 68.002625°		 ← 285.88 m → N 20.578796°
E 68.005371°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.576225°
E 68.002625°		 ← 285.88 m →
81 742 m²		 N 20.576225°
E 68.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688899993896484 y=0.441570281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688899993896484 × 217)
    floor (0.688899993896484 × 131072)
    floor (90295.5)     		tx = 90295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441570281982422 × 217)
    floor (0.441570281982422 × 131072)
    floor (57877.5)     		ty = 57877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90295 / 57877 ti = "17/90295/57877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90295/57877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90295 ÷ 217
    90295 ÷ 131072     		x = 0.688896179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57877 ÷ 217
    57877 ÷ 131072     		y = 0.441566467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688896179199219 × 2 - 1) × π
    0.377792358398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.18686970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441566467285156 × 2 - 1) × π
    0.116867065429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.36714871419001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18686970} λ = 1.18686970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36714871419001))-π/2
    2×atan(1.4436125888294)-π/2
    2×0.96498203700944-π/2
    1.92996407401888-1.57079632675     		φ = 0.35916775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18686970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.002625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35916775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.578796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90295 KachelY 57877 1.18686970 0.35916775 68.002625 20.578796
    Oben rechts KachelX + 1 90296 KachelY 57877 1.18691763 0.35916775 68.005371 20.578796
    Unten links KachelX 90295 KachelY + 1 57878 1.18686970 0.35912287 68.002625 20.576225
    Unten rechts KachelX + 1 90296 KachelY + 1 57878 1.18691763 0.35912287 68.005371 20.576225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35916775-0.35912287) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35916775-0.35912287) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18686970-1.18691763) × cos(0.35916775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936189679754935 × 6371000     		do = 285.876781075192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18686970-1.18691763) × cos(0.35912287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936205453917166 × 6371000     		du = 285.881597905392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35916775)-sin(0.35912287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936189679754935-0.936205453917166)×R²
    abs(1.18691763-1.18686970)×1.57741622315299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57741622315299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57741622315299e-05×40589641000000     		ar = 81741.5738867579m²