Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90292 / 58169
↖ ↑ ↗
← N 19.826142°
E 67.994385°		 ← 287.26 m → N 19.826142°
E 67.997131°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 19.823558°
E 67.994385°		 ← 287.27 m →
82 540 m²		 N 19.823558°
E 67.997131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688877105712891 y=0.443798065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688877105712891 × 217)
    floor (0.688877105712891 × 131072)
    floor (90292.5)     		tx = 90292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443798065185547 × 217)
    floor (0.443798065185547 × 131072)
    floor (58169.5)     		ty = 58169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90292 / 58169 ti = "17/90292/58169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90292/58169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90292 ÷ 217
    90292 ÷ 131072     		x = 0.688873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58169 ÷ 217
    58169 ÷ 131072     		y = 0.443794250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688873291015625 × 2 - 1) × π
    0.37774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18672589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443794250488281 × 2 - 1) × π
    0.112411499023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.353151139500954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18672589} λ = 1.18672589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353151139500954))-π/2
    2×atan(1.42354628124981)-π/2
    2×0.958413888073641-π/2
    1.91682777614728-1.57079632675     		φ = 0.34603145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18672589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34603145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.826142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90292 KachelY 58169 1.18672589 0.34603145 67.994385 19.826142
    Oben rechts KachelX + 1 90293 KachelY 58169 1.18677382 0.34603145 67.997131 19.826142
    Unten links KachelX 90292 KachelY + 1 58170 1.18672589 0.34598635 67.994385 19.823558
    Unten rechts KachelX + 1 90293 KachelY + 1 58170 1.18677382 0.34598635 67.997131 19.823558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34603145-0.34598635) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34603145-0.34598635) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18672589-1.18677382) × cos(0.34603145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940726119105704 × 6371000     		do = 287.262037404315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18672589-1.18677382) × cos(0.34598635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940741414588318 × 6371000     		du = 287.266708063936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34603145)-sin(0.34598635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940726119105704-0.940741414588318)×R²
    abs(1.18677382-1.18672589)×1.52954826139196e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52954826139196e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52954826139196e-05×40589641000000     		ar = 82540.2754868538m²