Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90292 / 57848
↖ ↑ ↗
← N 20.653346°
E 67.994385°		 ← 285.74 m → N 20.653346°
E 67.997131°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
N 20.650776°
E 67.994385°		 ← 285.74 m →
81 647 m²		 N 20.650776°
E 67.997131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688877105712891 y=0.441349029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688877105712891 × 217)
    floor (0.688877105712891 × 131072)
    floor (90292.5)     		tx = 90292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441349029541016 × 217)
    floor (0.441349029541016 × 131072)
    floor (57848.5)     		ty = 57848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90292 / 57848 ti = "17/90292/57848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90292/57848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90292 ÷ 217
    90292 ÷ 131072     		x = 0.688873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57848 ÷ 217
    57848 ÷ 131072     		y = 0.44134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688873291015625 × 2 - 1) × π
    0.37774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18672589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18672589} λ = 1.18672589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368538884278992))-π/2
    2×atan(1.44562085146036)-π/2
    2×0.965632609311528-π/2
    1.93126521862306-1.57079632675     		φ = 0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18672589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90292 KachelY 57848 1.18672589 0.36046889 67.994385 20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 90293 KachelY 57848 1.18677382 0.36046889 67.997131 20.653346
    Unten links KachelX 90292 KachelY + 1 57849 1.18672589 0.36042404 67.994385 20.650776
    Unten rechts KachelX + 1 90293 KachelY + 1 57849 1.18677382 0.36042404 67.997131 20.650776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36046889-0.36042404) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36046889-0.36042404) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18672589-1.18677382) × cos(0.36046889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 285.736883486335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18672589-1.18677382) × cos(0.36042404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935747361174768 × 6371000     		du = 285.741713775645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36046889)-sin(0.36042404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935747361174768)×R²
    abs(1.18677382-1.18672589)×1.58182381418959e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58182381418959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58182381418959e-05×40589641000000     		ar = 81646.9614739529m²