Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90288 / 57392
↖ ↑ ↗
← N 21.820708°
E 67.983398°		 ← 283.54 m → N 21.820708°
E 67.986145°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.818158°
E 67.983398°		 ← 283.55 m →
80 406 m²		 N 21.818158°
E 67.986145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688846588134766 y=0.437870025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688846588134766 × 217)
    floor (0.688846588134766 × 131072)
    floor (90288.5)     		tx = 90288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437870025634766 × 217)
    floor (0.437870025634766 × 131072)
    floor (57392.5)     		ty = 57392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90288 / 57392 ti = "17/90288/57392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90288/57392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90288 ÷ 217
    90288 ÷ 131072     		x = 0.6888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57392 ÷ 217
    57392 ÷ 131072     		y = 0.4378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6888427734375 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18653414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    0.124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390398110505737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18653414} λ = 1.18653414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390398110505737))-π/2
    2×atan(1.47756891251379)-π/2
    2×0.975819761975221-π/2
    1.95163952395044-1.57079632675     		φ = 0.38084320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18653414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.983398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38084320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.820708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90288 KachelY 57392 1.18653414 0.38084320 67.983398 21.820708
    Oben rechts KachelX + 1 90289 KachelY 57392 1.18658208 0.38084320 67.986145 21.820708
    Unten links KachelX 90288 KachelY + 1 57393 1.18653414 0.38079869 67.983398 21.818158
    Unten rechts KachelX + 1 90289 KachelY + 1 57393 1.18658208 0.38079869 67.986145 21.818158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38084320-0.38079869) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38084320-0.38079869) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18653414-1.18658208) × cos(0.38084320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928351545339893 × 6371000     		do = 283.542457715395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18653414-1.18658208) × cos(0.38079869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928368088938068 × 6371000     		du = 283.547510556109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38084320)-sin(0.38079869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928351545339893-0.928368088938068)×R²
    abs(1.18658208-1.18653414)×1.65435981741568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65435981741568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65435981741568e-05×40589641000000     		ar = 80405.7613440702m²