Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90287 / 57763
↖ ↑ ↗
← N 20.871644°
E 67.980652°		 ← 285.38 m → N 20.871644°
E 67.983398°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.869078°
E 67.980652°		 ← 285.39 m →
81 437 m²		 N 20.869078°
E 67.983398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688838958740234 y=0.440700531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688838958740234 × 217)
    floor (0.688838958740234 × 131072)
    floor (90287.5)     		tx = 90287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440700531005859 × 217)
    floor (0.440700531005859 × 131072)
    floor (57763.5)     		ty = 57763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90287 / 57763 ti = "17/90287/57763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90287/57763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90287 ÷ 217
    90287 ÷ 131072     		x = 0.688835144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57763 ÷ 217
    57763 ÷ 131072     		y = 0.440696716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688835144042969 × 2 - 1) × π
    0.377670288085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18648620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440696716308594 × 2 - 1) × π
    0.118606567382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.372613520746696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18648620} λ = 1.18648620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372613520746696))-π/2
    2×atan(1.45152324779358)-π/2
    2×0.967537618384854-π/2
    1.93507523676971-1.57079632675     		φ = 0.36427891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18648620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36427891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.871644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90287 KachelY 57763 1.18648620 0.36427891 67.980652 20.871644
    Oben rechts KachelX + 1 90288 KachelY 57763 1.18653414 0.36427891 67.983398 20.871644
    Unten links KachelX 90287 KachelY + 1 57764 1.18648620 0.36423412 67.980652 20.869078
    Unten rechts KachelX + 1 90288 KachelY + 1 57764 1.18653414 0.36423412 67.983398 20.869078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36427891-0.36423412) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36427891-0.36423412) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18648620-1.18653414) × cos(0.36427891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934380910850598 × 6371000     		do = 285.383981138231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18648620-1.18653414) × cos(0.36423412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934396867498111 × 6371000     		du = 285.388854709105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36427891)-sin(0.36423412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934380910850598-0.934396867498111)×R²
    abs(1.18653414-1.18648620)×1.59566475136375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59566475136375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59566475136375e-05×40589641000000     		ar = 81437.0377579132m²