Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90287 / 57585
↖ ↑ ↗
← N 21.327756°
E 67.980652°		 ← 284.51 m → N 21.327756°
E 67.983398°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
N 21.325198°
E 67.980652°		 ← 284.51 m →
80 934 m²		 N 21.325198°
E 67.983398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688838958740234 y=0.439342498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688838958740234 × 217)
    floor (0.688838958740234 × 131072)
    floor (90287.5)     		tx = 90287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439342498779297 × 217)
    floor (0.439342498779297 × 131072)
    floor (57585.5)     		ty = 57585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90287 / 57585 ti = "17/90287/57585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90287/57585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90287 ÷ 217
    90287 ÷ 131072     		x = 0.688835144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57585 ÷ 217
    57585 ÷ 131072     		y = 0.439338684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688835144042969 × 2 - 1) × π
    0.377670288085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18648620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439338684082031 × 2 - 1) × π
    0.121322631835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.381146288879066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18648620} λ = 1.18648620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381146288879066))-π/2
    2×atan(1.46396175106934)-π/2
    2×0.971517950872634-π/2
    1.94303590174527-1.57079632675     		φ = 0.37223957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18648620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37223957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.327756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90287 KachelY 57585 1.18648620 0.37223957 67.980652 21.327756
    Oben rechts KachelX + 1 90288 KachelY 57585 1.18653414 0.37223957 67.983398 21.327756
    Unten links KachelX 90287 KachelY + 1 57586 1.18648620 0.37219492 67.980652 21.325198
    Unten rechts KachelX + 1 90288 KachelY + 1 57586 1.18653414 0.37219492 67.983398 21.325198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37223957-0.37219492) × R
    4.46500000000349e-05 × 6371000     		dl = 284.465150000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37223957-0.37219492) × R
    4.46500000000349e-05 × 6371000     		dr = 284.465150000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18648620-1.18653414) × cos(0.37223957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931515145086134 × 6371000     		do = 284.508702508953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18648620-1.18653414) × cos(0.37219492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931531383475803 × 6371000     		du = 284.513662131134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37223957)-sin(0.37219492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931515145086134-0.931531383475803)×R²
    abs(1.18653414-1.18648620)×1.623838966891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.623838966891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.623838966891e-05×40589641000000     		ar = 80933.5161689344m²