Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90285 / 57473
↖ ↑ ↗
← N 21.614026°
E 67.975159°		 ← 283.95 m → N 21.614026°
E 67.977906°		 →
↑
283.96 m
↓
↑
283.96 m
↓
N 21.611472°
E 67.975159°		 ← 283.96 m →
80 630 m²		 N 21.611472°
E 67.977906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688823699951172 y=0.438488006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688823699951172 × 217)
    floor (0.688823699951172 × 131072)
    floor (90285.5)     		tx = 90285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438488006591797 × 217)
    floor (0.438488006591797 × 131072)
    floor (57473.5)     		ty = 57473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90285 / 57473 ti = "17/90285/57473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90285/57473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90285 ÷ 217
    90285 ÷ 131072     		x = 0.688819885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57473 ÷ 217
    57473 ÷ 131072     		y = 0.438484191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688819885253906 × 2 - 1) × π
    0.377639770507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.18639033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438484191894531 × 2 - 1) × π
    0.123031616210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.386515221636513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18639033} λ = 1.18639033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386515221636513))-π/2
    2×atan(1.47184280075199)-π/2
    2×0.974016121670977-π/2
    1.94803224334195-1.57079632675     		φ = 0.37723592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18639033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.975159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37723592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.614026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90285 KachelY 57473 1.18639033 0.37723592 67.975159 21.614026
    Oben rechts KachelX + 1 90286 KachelY 57473 1.18643827 0.37723592 67.977906 21.614026
    Unten links KachelX 90285 KachelY + 1 57474 1.18639033 0.37719135 67.975159 21.611472
    Unten rechts KachelX + 1 90286 KachelY + 1 57474 1.18643827 0.37719135 67.977906 21.611472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37723592-0.37719135) × R
    4.45700000000215e-05 × 6371000     		dl = 283.955470000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37723592-0.37719135) × R
    4.45700000000215e-05 × 6371000     		dr = 283.955470000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18639033-1.18643827) × cos(0.37723592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929686340561251 × 6371000     		do = 283.950138533626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18639033-1.18643827) × cos(0.37719135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929702757093274 × 6371000     		du = 283.955152565067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37723592)-sin(0.37719135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929686340561251-0.929702757093274)×R²
    abs(1.18643827-1.18639033)×1.64165320228893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64165320228893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64165320228893e-05×40589641000000     		ar = 80629.9069381752m²