Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90279 / 57449
↖ ↑ ↗
← N 21.675296°
E 67.958679°		 ← 283.77 m → N 21.675296°
E 67.961426°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.672743°
E 67.958679°		 ← 283.78 m →
80 543 m²		 N 21.672743°
E 67.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688777923583984 y=0.438304901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688777923583984 × 217)
    floor (0.688777923583984 × 131072)
    floor (90279.5)     		tx = 90279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438304901123047 × 217)
    floor (0.438304901123047 × 131072)
    floor (57449.5)     		ty = 57449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90279 / 57449 ti = "17/90279/57449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90279/57449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90279 ÷ 217
    90279 ÷ 131072     		x = 0.688774108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57449 ÷ 217
    57449 ÷ 131072     		y = 0.438301086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688774108886719 × 2 - 1) × π
    0.377548217773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.18610271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438301086425781 × 2 - 1) × π
    0.123397827148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.387665707227394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18610271} λ = 1.18610271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387665707227394))-π/2
    2×atan(1.47353710913811)-π/2
    2×0.974550803636409-π/2
    1.94910160727282-1.57079632675     		φ = 0.37830528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18610271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.958679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37830528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.675296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90279 KachelY 57449 1.18610271 0.37830528 67.958679 21.675296
    Oben rechts KachelX + 1 90280 KachelY 57449 1.18615064 0.37830528 67.961426 21.675296
    Unten links KachelX 90279 KachelY + 1 57450 1.18610271 0.37826073 67.958679 21.672743
    Unten rechts KachelX + 1 90280 KachelY + 1 57450 1.18615064 0.37826073 67.961426 21.672743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37830528-0.37826073) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37830528-0.37826073) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18610271-1.18615064) × cos(0.37830528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929291908016203 × 6371000     		do = 283.770463494575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18610271-1.18615064) × cos(0.37826073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929308361463257 × 6371000     		du = 283.775487752568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37830528)-sin(0.37826073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929291908016203-0.929308361463257)×R²
    abs(1.18615064-1.18610271)×1.64534470546984e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64534470546984e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64534470546984e-05×40589641000000     		ar = 80542.7303274023m²