Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90274 / 57566
↖ ↑ ↗
← N 21.376360°
E 67.944946°		 ← 284.41 m → N 21.376360°
E 67.947693°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.373802°
E 67.944946°		 ← 284.42 m →
80 889 m²		 N 21.373802°
E 67.947693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688739776611328 y=0.439197540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688739776611328 × 217)
    floor (0.688739776611328 × 131072)
    floor (90274.5)     		tx = 90274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439197540283203 × 217)
    floor (0.439197540283203 × 131072)
    floor (57566.5)     		ty = 57566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90274 / 57566 ti = "17/90274/57566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90274/57566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90274 ÷ 217
    90274 ÷ 131072     		x = 0.688735961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57566 ÷ 217
    57566 ÷ 131072     		y = 0.439193725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688735961914062 × 2 - 1) × π
    0.377471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18586302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439193725585938 × 2 - 1) × π
    0.121612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.382057089971848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18586302} λ = 1.18586302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382057089971848))-π/2
    2×atan(1.46529573643745)-π/2
    2×0.971942093072284-π/2
    1.94388418614457-1.57079632675     		φ = 0.37308786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18586302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37308786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.376360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90274 KachelY 57566 1.18586302 0.37308786 67.944946 21.376360
    Oben rechts KachelX + 1 90275 KachelY 57566 1.18591096 0.37308786 67.947693 21.376360
    Unten links KachelX 90274 KachelY + 1 57567 1.18586302 0.37304322 67.944946 21.373802
    Unten rechts KachelX + 1 90275 KachelY + 1 57567 1.18591096 0.37304322 67.947693 21.373802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37308786-0.37304322) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dl = 284.401439999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37308786-0.37304322) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dr = 284.401439999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18586302-1.18591096) × cos(0.37308786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931206284741896 × 6371000     		do = 284.414368609758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18586302-1.18591096) × cos(0.37304322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931222554763721 × 6371000     		du = 284.419337893214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37308786)-sin(0.37304322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931206284741896-0.931222554763721)×R²
    abs(1.18591096-1.18586302)×1.62700218253597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62700218253597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62700218253597e-05×40589641000000     		ar = 80888.5626384645m²