Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90272 / 57440
↖ ↑ ↗
← N 21.698265°
E 67.939453°		 ← 283.78 m → N 21.698265°
E 67.942200°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
N 21.695713°
E 67.939453°		 ← 283.79 m →
80 529 m²		 N 21.695713°
E 67.942200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688724517822266 y=0.438236236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688724517822266 × 217)
    floor (0.688724517822266 × 131072)
    floor (90272.5)     		tx = 90272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438236236572266 × 217)
    floor (0.438236236572266 × 131072)
    floor (57440.5)     		ty = 57440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90272 / 57440 ti = "17/90272/57440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90272/57440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90272 ÷ 217
    90272 ÷ 131072     		x = 0.688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57440 ÷ 217
    57440 ÷ 131072     		y = 0.438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688720703125 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18576715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    0.12353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388097139323975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18576715} λ = 1.18576715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388097139323975))-π/2
    2×atan(1.47417297749964)-π/2
    2×0.974751250838275-π/2
    1.94950250167655-1.57079632675     		φ = 0.37870617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18576715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37870617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.698265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90272 KachelY 57440 1.18576715 0.37870617 67.939453 21.698265
    Oben rechts KachelX + 1 90273 KachelY 57440 1.18581509 0.37870617 67.942200 21.698265
    Unten links KachelX 90272 KachelY + 1 57441 1.18576715 0.37866163 67.939453 21.695713
    Unten rechts KachelX + 1 90273 KachelY + 1 57441 1.18581509 0.37866163 67.942200 21.695713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37870617-0.37866163) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37870617-0.37866163) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18576715-1.18581509) × cos(0.37870617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929143766183191 × 6371000     		do = 283.784422352702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18576715-1.18581509) × cos(0.37866163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929160232529125 × 6371000     		du = 283.789451598594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37870617)-sin(0.37866163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929143766183191-0.929160232529125)×R²
    abs(1.18581509-1.18576715)×1.64663459344405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64663459344405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64663459344405e-05×40589641000000     		ar = 80528.612884876m²