Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90250 / 58171
↖ ↑ ↗
← N 19.820974°
E 67.879028°		 ← 287.27 m → N 19.820974°
E 67.881775°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 19.818390°
E 67.879028°		 ← 287.28 m →
82 543 m²		 N 19.818390°
E 67.881775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688556671142578 y=0.443813323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688556671142578 × 217)
    floor (0.688556671142578 × 131072)
    floor (90250.5)     		tx = 90250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443813323974609 × 217)
    floor (0.443813323974609 × 131072)
    floor (58171.5)     		ty = 58171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90250 / 58171 ti = "17/90250/58171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90250/58171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90250 ÷ 217
    90250 ÷ 131072     		x = 0.688552856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58171 ÷ 217
    58171 ÷ 131072     		y = 0.443809509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688552856445312 × 2 - 1) × π
    0.377105712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18471254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443809509277344 × 2 - 1) × π
    0.112380981445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.353055265701714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18471254} λ = 1.18471254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353055265701714))-π/2
    2×atan(1.42340980700169)-π/2
    2×0.958368791846952-π/2
    1.9167375836939-1.57079632675     		φ = 0.34594126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18471254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.879028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34594126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.820974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90250 KachelY 58171 1.18471254 0.34594126 67.879028 19.820974
    Oben rechts KachelX + 1 90251 KachelY 58171 1.18476047 0.34594126 67.881775 19.820974
    Unten links KachelX 90250 KachelY + 1 58172 1.18471254 0.34589616 67.879028 19.818390
    Unten rechts KachelX + 1 90251 KachelY + 1 58172 1.18476047 0.34589616 67.881775 19.818390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34594126-0.34589616) × R
    4.50999999999646e-05 × 6371000     		dl = 287.332099999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34594126-0.34589616) × R
    4.50999999999646e-05 × 6371000     		dr = 287.332099999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18471254-1.18476047) × cos(0.34594126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940756704766631 × 6371000     		do = 287.271377103825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18471254-1.18476047) × cos(0.34589616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940771996422683 × 6371000     		du = 287.276046594959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34594126)-sin(0.34589616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940756704766631-0.940771996422683)×R²
    abs(1.18476047-1.18471254)×1.52916560520744e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52916560520744e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52916560520744e-05×40589641000000     		ar = 82542.9589143914m²