Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90248 / 58127
↖ ↑ ↗
← N 19.934623°
E 67.873535°		 ← 287.13 m → N 19.934623°
E 67.876282°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.932041°
E 67.873535°		 ← 287.13 m →
82 428 m²		 N 19.932041°
E 67.876282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688541412353516 y=0.443477630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688541412353516 × 217)
    floor (0.688541412353516 × 131072)
    floor (90248.5)     		tx = 90248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443477630615234 × 217)
    floor (0.443477630615234 × 131072)
    floor (58127.5)     		ty = 58127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90248 / 58127 ti = "17/90248/58127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90248/58127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90248 ÷ 217
    90248 ÷ 131072     		x = 0.68853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58127 ÷ 217
    58127 ÷ 131072     		y = 0.443473815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68853759765625 × 2 - 1) × π
    0.3770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18461666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443473815917969 × 2 - 1) × π
    0.113052368164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.355164489284996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18461666} λ = 1.18461666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355164489284996))-π/2
    2×atan(1.42641526501252)-π/2
    2×0.959360569609051-π/2
    1.9187211392181-1.57079632675     		φ = 0.34792481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18461666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34792481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.934623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90248 KachelY 58127 1.18461666 0.34792481 67.873535 19.934623
    Oben rechts KachelX + 1 90249 KachelY 58127 1.18466460 0.34792481 67.876282 19.934623
    Unten links KachelX 90248 KachelY + 1 58128 1.18461666 0.34787975 67.873535 19.932041
    Unten rechts KachelX + 1 90249 KachelY + 1 58128 1.18466460 0.34787975 67.876282 19.932041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34792481-0.34787975) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34792481-0.34787975) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18461666-1.18466460) × cos(0.34792481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94008226777475 × 6371000     		do = 287.125322295793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18461666-1.18466460) × cos(0.34787975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940097629923449 × 6371000     		du = 287.130014291427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34792481)-sin(0.34787975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94008226777475-0.940097629923449)×R²
    abs(1.18466460-1.18461666)×1.53621486981281e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53621486981281e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53621486981281e-05×40589641000000     		ar = 82427.8242978441m²