Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90245 / 58104
↖ ↑ ↗
← N 19.993998°
E 67.865295°		 ← 287.02 m → N 19.993998°
E 67.868042°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 19.991418°
E 67.865295°		 ← 287.02 m →
82 360 m²		 N 19.991418°
E 67.868042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688518524169922 y=0.443302154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688518524169922 × 217)
    floor (0.688518524169922 × 131072)
    floor (90245.5)     		tx = 90245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443302154541016 × 217)
    floor (0.443302154541016 × 131072)
    floor (58104.5)     		ty = 58104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90245 / 58104 ti = "17/90245/58104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90245/58104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90245 ÷ 217
    90245 ÷ 131072     		x = 0.688514709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58104 ÷ 217
    58104 ÷ 131072     		y = 0.44329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688514709472656 × 2 - 1) × π
    0.377029418945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.18447285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44329833984375 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.356267037976257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18447285} λ = 1.18447285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356267037976257))-π/2
    2×atan(1.42798882459979)-π/2
    2×0.959878715358278-π/2
    1.91975743071656-1.57079632675     		φ = 0.34896110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18447285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.865295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34896110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.993998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90245 KachelY 58104 1.18447285 0.34896110 67.865295 19.993998
    Oben rechts KachelX + 1 90246 KachelY 58104 1.18452079 0.34896110 67.868042 19.993998
    Unten links KachelX 90245 KachelY + 1 58105 1.18447285 0.34891606 67.865295 19.991418
    Unten rechts KachelX + 1 90246 KachelY + 1 58105 1.18452079 0.34891606 67.868042 19.991418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34896110-0.34891606) × R
    4.50400000000517e-05 × 6371000     		dl = 286.949840000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34896110-0.34891606) × R
    4.50400000000517e-05 × 6371000     		dr = 286.949840000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18447285-1.18452079) × cos(0.34896110) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.939728442376819 × 6371000     		do = 287.017254913129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18447285-1.18452079) × cos(0.34891606) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.939743841577387 × 6371000     		du = 287.021958225357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34896110)-sin(0.34891606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939728442376819-0.939743841577387)×R²
    abs(1.18452079-1.18447285)×1.53992005680337e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.53992005680337e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.53992005680337e-05×40589641000000     		ar = 82360.2301960084m²