Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90243 / 58124
↖ ↑ ↗
← N 19.942369°
E 67.859802°		 ← 287.11 m → N 19.942369°
E 67.862549°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.939787°
E 67.859802°		 ← 287.12 m →
82 424 m²		 N 19.939787°
E 67.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688503265380859 y=0.443454742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688503265380859 × 217)
    floor (0.688503265380859 × 131072)
    floor (90243.5)     		tx = 90243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443454742431641 × 217)
    floor (0.443454742431641 × 131072)
    floor (58124.5)     		ty = 58124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90243 / 58124 ti = "17/90243/58124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90243/58124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90243 ÷ 217
    90243 ÷ 131072     		x = 0.688499450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58124 ÷ 217
    58124 ÷ 131072     		y = 0.443450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688499450683594 × 2 - 1) × π
    0.376998901367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.18437698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443450927734375 × 2 - 1) × π
    0.11309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355308299983856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18437698} λ = 1.18437698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355308299983856))-π/2
    2×atan(1.42662041353957)-π/2
    2×0.959428164895566-π/2
    1.91885632979113-1.57079632675     		φ = 0.34806000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18437698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.859802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34806000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.942369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90243 KachelY 58124 1.18437698 0.34806000 67.859802 19.942369
    Oben rechts KachelX + 1 90244 KachelY 58124 1.18442492 0.34806000 67.862549 19.942369
    Unten links KachelX 90243 KachelY + 1 58125 1.18437698 0.34801494 67.859802 19.939787
    Unten rechts KachelX + 1 90244 KachelY + 1 58125 1.18442492 0.34801494 67.862549 19.939787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34806000-0.34801494) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34806000-0.34801494) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18437698-1.18442492) × cos(0.34806000) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.940036166465555 × 6371000     		do = 287.111241770647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18437698-1.18442492) × cos(0.34801494) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.940051534340822 × 6371000     		du = 287.115935515322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34806000)-sin(0.34801494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940036166465555-0.940051534340822)×R²
    abs(1.18442492-1.18437698)×1.5367875267347e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5367875267347e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5367875267347e-05×40589641000000     		ar = 82423.7823503247m²