Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90217 / 57865
↖ ↑ ↗
← N 20.609649°
E 67.788391°		 ← 285.88 m → N 20.609649°
E 67.791138°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.607078°
E 67.788391°		 ← 285.88 m →
81 724 m²		 N 20.607078°
E 67.791138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688304901123047 y=0.441478729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688304901123047 × 217)
    floor (0.688304901123047 × 131072)
    floor (90217.5)     		tx = 90217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441478729248047 × 217)
    floor (0.441478729248047 × 131072)
    floor (57865.5)     		ty = 57865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90217 / 57865 ti = "17/90217/57865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90217/57865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90217 ÷ 217
    90217 ÷ 131072     		x = 0.688301086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57865 ÷ 217
    57865 ÷ 131072     		y = 0.441474914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688301086425781 × 2 - 1) × π
    0.376602172851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.18313062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441474914550781 × 2 - 1) × π
    0.117050170898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.367723956985451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18313062} λ = 1.18313062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367723956985451))-π/2
    2×atan(1.44444325546513)-π/2
    2×0.965251277960413-π/2
    1.93050255592083-1.57079632675     		φ = 0.35970623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18313062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.788391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35970623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.609649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90217 KachelY 57865 1.18313062 0.35970623 67.788391 20.609649
    Oben rechts KachelX + 1 90218 KachelY 57865 1.18317856 0.35970623 67.791138 20.609649
    Unten links KachelX 90217 KachelY + 1 57866 1.18313062 0.35966136 67.788391 20.607078
    Unten rechts KachelX + 1 90218 KachelY + 1 57866 1.18317856 0.35966136 67.791138 20.607078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35970623-0.35966136) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dl = 285.866770000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35970623-0.35966136) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dr = 285.866770000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18313062-1.18317856) × cos(0.35970623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936000270893627 × 6371000     		do = 285.878575377699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18313062-1.18317856) × cos(0.35966136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936016064159068 × 6371000     		du = 285.883399047483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35970623)-sin(0.35966136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936000270893627-0.936016064159068)×R²
    abs(1.18317856-1.18313062)×1.57932654408777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57932654408777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57932654408777e-05×40589641000000     		ar = 81723.8744326147m²