Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90217 / 57619
↖ ↑ ↗
← N 21.240742°
E 67.788391°		 ← 284.68 m → N 21.240742°
E 67.791138°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 21.238182°
E 67.788391°		 ← 284.68 m →
81 036 m²		 N 21.238182°
E 67.791138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688304901123047 y=0.439601898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688304901123047 × 217)
    floor (0.688304901123047 × 131072)
    floor (90217.5)     		tx = 90217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439601898193359 × 217)
    floor (0.439601898193359 × 131072)
    floor (57619.5)     		ty = 57619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90217 / 57619 ti = "17/90217/57619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90217/57619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90217 ÷ 217
    90217 ÷ 131072     		x = 0.688301086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57619 ÷ 217
    57619 ÷ 131072     		y = 0.439598083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688301086425781 × 2 - 1) × π
    0.376602172851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.18313062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439598083496094 × 2 - 1) × π
    0.120803833007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.379516434291985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18313062} λ = 1.18313062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379516434291985))-π/2
    2×atan(1.4615776496911)-π/2
    2×0.970758609009831-π/2
    1.94151721801966-1.57079632675     		φ = 0.37072089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18313062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.788391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37072089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.240742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90217 KachelY 57619 1.18313062 0.37072089 67.788391 21.240742
    Oben rechts KachelX + 1 90218 KachelY 57619 1.18317856 0.37072089 67.791138 21.240742
    Unten links KachelX 90217 KachelY + 1 57620 1.18313062 0.37067621 67.788391 21.238182
    Unten rechts KachelX + 1 90218 KachelY + 1 57620 1.18317856 0.37067621 67.791138 21.238182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37072089-0.37067621) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dl = 284.656280000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37072089-0.37067621) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dr = 284.656280000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18313062-1.18317856) × cos(0.37072089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932066418422822 × 6371000     		do = 284.677075575753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18313062-1.18317856) × cos(0.37067621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932082604495445 × 6371000     		du = 284.682019218962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37072089)-sin(0.37067621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932066418422822-0.932082604495445)×R²
    abs(1.18317856-1.18313062)×1.61860726226593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61860726226593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61860726226593e-05×40589641000000     		ar = 81035.8209678025m²