Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90214 / 57622
↖ ↑ ↗
← N 21.233062°
E 67.780151°		 ← 284.69 m → N 21.233062°
E 67.782898°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.230502°
E 67.780151°		 ← 284.70 m →
81 058 m²		 N 21.230502°
E 67.782898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688282012939453 y=0.439624786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688282012939453 × 217)
    floor (0.688282012939453 × 131072)
    floor (90214.5)     		tx = 90214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439624786376953 × 217)
    floor (0.439624786376953 × 131072)
    floor (57622.5)     		ty = 57622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90214 / 57622 ti = "17/90214/57622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90214/57622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90214 ÷ 217
    90214 ÷ 131072     		x = 0.688278198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57622 ÷ 217
    57622 ÷ 131072     		y = 0.439620971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688278198242188 × 2 - 1) × π
    0.376556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18298681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439620971679688 × 2 - 1) × π
    0.120758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.379372623593124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18298681} λ = 1.18298681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379372623593124))-π/2
    2×atan(1.46136747430096)-π/2
    2×0.970691586702611-π/2
    1.94138317340522-1.57079632675     		φ = 0.37058685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18298681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.780151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37058685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.233062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90214 KachelY 57622 1.18298681 0.37058685 67.780151 21.233062
    Oben rechts KachelX + 1 90215 KachelY 57622 1.18303475 0.37058685 67.782898 21.233062
    Unten links KachelX 90214 KachelY + 1 57623 1.18298681 0.37054216 67.780151 21.230502
    Unten rechts KachelX + 1 90215 KachelY + 1 57623 1.18303475 0.37054216 67.782898 21.230502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37058685-0.37054216) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dl = 284.719990000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37058685-0.37054216) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dr = 284.719990000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18298681-1.18303475) × cos(0.37058685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932114971058502 × 6371000     		do = 284.691904800435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18298681-1.18303475) × cos(0.37054216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93213115517008 × 6371000     		du = 284.69684784469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37058685)-sin(0.37054216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932114971058502-0.93213115517008)×R²
    abs(1.18303475-1.18298681)×1.61841115781103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61841115781103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61841115781103e-05×40589641000000     		ar = 81058.1799931119m²