Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90211 / 57625
↖ ↑ ↗
← N 21.225382°
E 67.771912°		 ← 284.71 m → N 21.225382°
E 67.774658°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.222821°
E 67.771912°		 ← 284.71 m →
81 062 m²		 N 21.222821°
E 67.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688259124755859 y=0.439647674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688259124755859 × 217)
    floor (0.688259124755859 × 131072)
    floor (90211.5)     		tx = 90211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439647674560547 × 217)
    floor (0.439647674560547 × 131072)
    floor (57625.5)     		ty = 57625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90211 / 57625 ti = "17/90211/57625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90211/57625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90211 ÷ 217
    90211 ÷ 131072     		x = 0.688255310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57625 ÷ 217
    57625 ÷ 131072     		y = 0.439643859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688255310058594 × 2 - 1) × π
    0.376510620117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.18284300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439643859863281 × 2 - 1) × π
    0.120712280273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.379228812894264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18284300} λ = 1.18284300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379228812894264))-π/2
    2×atan(1.46115732913411)-π/2
    2×0.970624560904589-π/2
    1.94124912180918-1.57079632675     		φ = 0.37045280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18284300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.771912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37045280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.225382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90211 KachelY 57625 1.18284300 0.37045280 67.771912 21.225382
    Oben rechts KachelX + 1 90212 KachelY 57625 1.18289094 0.37045280 67.774658 21.225382
    Unten links KachelX 90211 KachelY + 1 57626 1.18284300 0.37040811 67.771912 21.222821
    Unten rechts KachelX + 1 90212 KachelY + 1 57626 1.18289094 0.37040811 67.774658 21.222821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37045280-0.37040811) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dl = 284.719990000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37045280-0.37040811) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dr = 284.719990000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18284300-1.18289094) × cos(0.37045280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932163510567507 × 6371000     		do = 284.706730015892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18284300-1.18289094) × cos(0.37040811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932179689094875 × 6371000     		du = 284.711671354585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37045280)-sin(0.37040811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932163510567507-0.932179689094875)×R²
    abs(1.18289094-1.18284300)×1.6178527368238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6178527368238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6178527368238e-05×40589641000000     		ar = 81062.4007854292m²