Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90208 / 57312
↖ ↑ ↗
← N 22.024546°
E 67.763672°		 ← 283.08 m → N 22.024546°
E 67.766418°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
N 22.022000°
E 67.763672°		 ← 283.08 m →
80 148 m²		 N 22.022000°
E 67.766418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688236236572266 y=0.437259674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688236236572266 × 217)
    floor (0.688236236572266 × 131072)
    floor (90208.5)     		tx = 90208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437259674072266 × 217)
    floor (0.437259674072266 × 131072)
    floor (57312.5)     		ty = 57312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90208 / 57312 ti = "17/90208/57312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90208/57312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90208 ÷ 217
    90208 ÷ 131072     		x = 0.688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57312 ÷ 217
    57312 ÷ 131072     		y = 0.437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688232421875 × 2 - 1) × π
    0.37646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18269919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.394233062475342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18269919} λ = 1.18269919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394233062475342))-π/2
    2×atan(1.48324619742462)-π/2
    2×0.977598581890864-π/2
    1.95519716378173-1.57079632675     		φ = 0.38440084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18269919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38440084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.024546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90208 KachelY 57312 1.18269919 0.38440084 67.763672 22.024546
    Oben rechts KachelX + 1 90209 KachelY 57312 1.18274712 0.38440084 67.766418 22.024546
    Unten links KachelX 90208 KachelY + 1 57313 1.18269919 0.38435640 67.763672 22.022000
    Unten rechts KachelX + 1 90209 KachelY + 1 57313 1.18274712 0.38435640 67.766418 22.022000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38440084-0.38435640) × R
    4.44400000000345e-05 × 6371000     		dl = 283.12724000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38440084-0.38435640) × R
    4.44400000000345e-05 × 6371000     		dr = 283.12724000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18269919-1.18274712) × cos(0.38440084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927023286315161 × 6371000     		do = 283.077712566642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18269919-1.18274712) × cos(0.38435640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927039950567247 × 6371000     		du = 283.082801196487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38440084)-sin(0.38435640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927023286315161-0.927039950567247)×R²
    abs(1.18274712-1.18269919)×1.66642520854632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66642520854632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66642520854632e-05×40589641000000     		ar = 80147.7318426549m²