Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90207 / 57628
↖ ↑ ↗
← N 21.217701°
E 67.760925°		 ← 284.72 m → N 21.217701°
E 67.763672°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.215140°
E 67.760925°		 ← 284.73 m →
81 067 m²		 N 21.215140°
E 67.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688228607177734 y=0.439670562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688228607177734 × 217)
    floor (0.688228607177734 × 131072)
    floor (90207.5)     		tx = 90207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439670562744141 × 217)
    floor (0.439670562744141 × 131072)
    floor (57628.5)     		ty = 57628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90207 / 57628 ti = "17/90207/57628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90207/57628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90207 ÷ 217
    90207 ÷ 131072     		x = 0.688224792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57628 ÷ 217
    57628 ÷ 131072     		y = 0.439666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688224792480469 × 2 - 1) × π
    0.376449584960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18265125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.379085002195404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18265125} λ = 1.18265125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379085002195404))-π/2
    2×atan(1.46094721418621)-π/2
    2×0.970557531616786-π/2
    1.94111506323357-1.57079632675     		φ = 0.37031874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18265125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.760925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37031874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.217701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90207 KachelY 57628 1.18265125 0.37031874 67.760925 21.217701
    Oben rechts KachelX + 1 90208 KachelY 57628 1.18269919 0.37031874 67.763672 21.217701
    Unten links KachelX 90207 KachelY + 1 57629 1.18265125 0.37027405 67.760925 21.215140
    Unten rechts KachelX + 1 90208 KachelY + 1 57629 1.18269919 0.37027405 67.763672 21.215140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37031874-0.37027405) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dl = 284.719989999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37031874-0.37027405) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dr = 284.719989999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18265125-1.18269919) × cos(0.37031874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932212036945216 × 6371000     		do = 284.721551220713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18265125-1.18269919) × cos(0.37027405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932228209887667 × 6371000     		du = 284.726490853629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37031874)-sin(0.37027405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932212036945216-0.932228209887667)×R²
    abs(1.18269919-1.18265125)×1.61729424510426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61729424510426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61729424510426e-05×40589641000000     		ar = 81066.6204358953m²