Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90206 / 57640
↖ ↑ ↗
← N 21.186973°
E 67.758179°		 ← 284.78 m → N 21.186973°
E 67.760925°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.184412°
E 67.758179°		 ← 284.79 m →
81 083 m²		 N 21.184412°
E 67.760925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688220977783203 y=0.439762115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688220977783203 × 217)
    floor (0.688220977783203 × 131072)
    floor (90206.5)     		tx = 90206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439762115478516 × 217)
    floor (0.439762115478516 × 131072)
    floor (57640.5)     		ty = 57640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90206 / 57640 ti = "17/90206/57640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90206/57640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90206 ÷ 217
    90206 ÷ 131072     		x = 0.688217163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57640 ÷ 217
    57640 ÷ 131072     		y = 0.43975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688217163085938 × 2 - 1) × π
    0.376434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18260331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    0.1204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.378509759399963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18260331} λ = 1.18260331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378509759399963))-π/2
    2×atan(1.46010705649723)-π/2
    2×0.970289379588234-π/2
    1.94057875917647-1.57079632675     		φ = 0.36978243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18260331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36978243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.186973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90206 KachelY 57640 1.18260331 0.36978243 67.758179 21.186973
    Oben rechts KachelX + 1 90207 KachelY 57640 1.18265125 0.36978243 67.760925 21.186973
    Unten links KachelX 90206 KachelY + 1 57641 1.18260331 0.36973774 67.758179 21.184412
    Unten rechts KachelX + 1 90207 KachelY + 1 57641 1.18265125 0.36973774 67.760925 21.184412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36978243-0.36973774) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dl = 284.719990000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36978243-0.36973774) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dr = 284.719990000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18260331-1.18265125) × cos(0.36978243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932406000208294 × 6371000     		do = 284.780792593872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18260331-1.18265125) × cos(0.36973774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932422150805254 × 6371000     		du = 284.785725401899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36978243)-sin(0.36973774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932406000208294-0.932422150805254)×R²
    abs(1.18265125-1.18260331)×1.61505969595854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61505969595854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61505969595854e-05×40589641000000     		ar = 81083.4866676137m²