Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90203 / 57623
↖ ↑ ↗
← N 21.230502°
E 67.749939°		 ← 284.70 m → N 21.230502°
E 67.752686°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 21.227942°
E 67.749939°		 ← 284.70 m →
81 041 m²		 N 21.227942°
E 67.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688198089599609 y=0.439632415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688198089599609 × 217)
    floor (0.688198089599609 × 131072)
    floor (90203.5)     		tx = 90203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439632415771484 × 217)
    floor (0.439632415771484 × 131072)
    floor (57623.5)     		ty = 57623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90203 / 57623 ti = "17/90203/57623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90203/57623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90203 ÷ 217
    90203 ÷ 131072     		x = 0.688194274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57623 ÷ 217
    57623 ÷ 131072     		y = 0.439628601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688194274902344 × 2 - 1) × π
    0.376388549804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.18245950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439628601074219 × 2 - 1) × π
    0.120742797851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.379324686693504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18245950} λ = 1.18245950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379324686693504))-π/2
    2×atan(1.46129742255408)-π/2
    2×0.970669245157754-π/2
    1.94133849031551-1.57079632675     		φ = 0.37054216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18245950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.749939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37054216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.230502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90203 KachelY 57623 1.18245950 0.37054216 67.749939 21.230502
    Oben rechts KachelX + 1 90204 KachelY 57623 1.18250744 0.37054216 67.752686 21.230502
    Unten links KachelX 90203 KachelY + 1 57624 1.18245950 0.37049748 67.749939 21.227942
    Unten rechts KachelX + 1 90204 KachelY + 1 57624 1.18250744 0.37049748 67.752686 21.227942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37054216-0.37049748) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dl = 284.656280000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37054216-0.37049748) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dr = 284.656280000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18245950-1.18250744) × cos(0.37054216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93213115517008 × 6371000     		do = 284.69684784469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18245950-1.18250744) × cos(0.37049748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932147333799217 × 6371000     		du = 284.701789214466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37054216)-sin(0.37049748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93213115517008-0.932147333799217)×R²
    abs(1.18250744-1.18245950)×1.61786291373867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61786291373867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61786291373867e-05×40589641000000     		ar = 81041.448944661m²